Номер 3.79, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.79. Найдите сумму первых 15 членов арифметической прогрессии ${$a_n$}, если:

1) $a_5=27, a_{27}=60;$

2) $a_{20}=0, a_{66}=-92;$

3) $a_1=-3, a_{61}=57;$

4) $a_1=-10,5, a_{63}=51,5.$

1) Для нахождения суммы первых 15 членов арифметической прогрессии $S_{15}$ необходимо знать ее первый член $a_1$ и разность $d$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.
По условию даны $a_5 = 27$ и $a_{27} = 60$. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} a_1 + d(5-1) = 27 \\ a_1 + d(27-1) = 60 \end{cases} $
$ \begin{cases} a_1 + 4d = 27 \\ a_1 + 26d = 60 \end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти $d$:
$(a_1 + 26d) - (a_1 + 4d) = 60 - 27$
$22d = 33$
$d = \frac{33}{22} = 1,5$
Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 4(1,5) = 27$
$a_1 + 6 = 27$
$a_1 = 21$
Теперь вычислим сумму первых 15 членов по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$:
$S_{15} = \frac{2 \cdot 21 + 1,5 \cdot (15-1)}{2} \cdot 15 = \frac{42 + 1,5 \cdot 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{42 + 21}{2} \cdot 15 = \frac{63}{2} \cdot 15 = 31,5 \cdot 15 = 472,5$
Ответ: 472,5

2) По условию даны $a_{20} = 0$ и $a_{66} = -92$. Аналогично первому пункту, составим систему уравнений:
$ \begin{cases} a_1 + d(20-1) = 0 \\ a_1 + d(66-1) = -92 \end{cases} $
$ \begin{cases} a_1 + 19d = 0 \\ a_1 + 65d = -92 \end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое:
$(a_1 + 65d) - (a_1 + 19d) = -92 - 0$
$46d = -92$
$d = -2$
Подставим $d$ в первое уравнение:
$a_1 + 19(-2) = 0$
$a_1 - 38 = 0$
$a_1 = 38$
Вычислим сумму первых 15 членов:
$S_{15} = \frac{2 \cdot 38 + (-2) \cdot (15-1)}{2} \cdot 15 = \frac{76 - 2 \cdot 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{76 - 28}{2} \cdot 15 = \frac{48}{2} \cdot 15 = 24 \cdot 15 = 360$
Ответ: 360

3) По условию даны $a_1 = -3$ и $a_{61} = 57$.
Первый член $a_1$ уже известен. Найдем разность $d$ из формулы для 61-го члена:
$a_{61} = a_1 + d(61-1)$
$57 = -3 + 60d$
$60 = 60d$
$d = 1$
Теперь вычислим сумму первых 15 членов:
$S_{15} = \frac{2 \cdot (-3) + 1 \cdot (15-1)}{2} \cdot 15 = \frac{-6 + 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{8}{2} \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$
Ответ: 60

4) По условию даны $a_1 = -10,5$ и $a_{63} = 51,5$.
Первый член $a_1$ известен. Найдем разность $d$ из формулы для 63-го члена:
$a_{63} = a_1 + d(63-1)$
$51,5 = -10,5 + 62d$
$51,5 + 10,5 = 62d$
$62 = 62d$
$d = 1$
Теперь вычислим сумму первых 15 членов:
$S_{15} = \frac{2 \cdot (-10,5) + 1 \cdot (15-1)}{2} \cdot 15 = \frac{-21 + 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{-7}{2} \cdot 15 = -3,5 \cdot 15 = -52,5$
Ответ: -52,5