Номер 3.80, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.80. Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии ${$b_n$}$, если:

1) $b_5=-6, b_7=-54;$

2) $b_6=25, b_8=9;$

3) $b_1=125, b_3=5;$

4) $b_4=-1, b_6=-100.$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$, где $b_1$ - первый член прогрессии, а $q$ - ее знаменатель. Наша цель - найти $S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q-1}$.

1) Дано: $b_5 = -6$, $b_7 = -54$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$:

$b_7 = b_5 \cdot q^{7-5} \implies -54 = -6 \cdot q^2$.

Отсюда $q^2 = \frac{-54}{-6} = 9$, что дает два возможных значения для знаменателя: $q = 3$ или $q = -3$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Из формулы $b_5 = b_1 \cdot q^4$ получаем $b_1 = \frac{b_5}{q^4}$.

Поскольку $q^4 = (\pm3)^4 = 81$, значение $b_1$ будет одинаковым для обоих случаев:

$b_1 = \frac{-6}{81} = -\frac{2}{27}$.

Рассмотрим два случая для вычисления $S_6$.

Случай 1: $q = 3$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6-1)}{q-1} = \frac{-\frac{2}{27}(3^6-1)}{3-1} = \frac{-\frac{2}{27}(729-1)}{2} = \frac{-\frac{2}{27} \cdot 728}{2} = -\frac{728}{27}$.

Случай 2: $q = -3$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6-1)}{q-1} = \frac{-\frac{2}{27}((-3)^6-1)}{-3-1} = \frac{-\frac{2}{27}(729-1)}{-4} = \frac{-\frac{2}{27} \cdot 728}{-4} = \frac{2 \cdot 728}{27 \cdot 4} = \frac{364}{27}$.

Ответ: $S_6 = -\frac{728}{27}$ или $S_6 = \frac{364}{27}$.

2) Дано: $b_6 = 25$, $b_8 = 9$.

Найдем знаменатель $q$:

$b_8 = b_6 \cdot q^{8-6} \implies 9 = 25 \cdot q^2$.

$q^2 = \frac{9}{25}$, откуда $q = \frac{3}{5}$ или $q = -\frac{3}{5}$.

Найдем $b_1$ из формулы $b_6 = b_1 \cdot q^5$, то есть $b_1 = \frac{b_6}{q^5}$.

Случай 1: $q = \frac{3}{5}$.

$b_1 = \frac{25}{(\frac{3}{5})^5} = \frac{25}{\frac{243}{3125}} = \frac{25 \cdot 3125}{243} = \frac{78125}{243}$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6-1)}{q-1} = \frac{\frac{78125}{243}((\frac{3}{5})^6-1)}{\frac{3}{5}-1} = \frac{\frac{78125}{243}(\frac{729}{15625}-1)}{-\frac{2}{5}} = \frac{\frac{78125}{243}(-\frac{14896}{15625})}{-\frac{2}{5}} = \frac{78125 \cdot 14896 \cdot 5}{243 \cdot 15625 \cdot 2} = \frac{5 \cdot 14896 \cdot 5}{243 \cdot 2} = \frac{25 \cdot 7448}{243} = \frac{186200}{243}$.

Случай 2: $q = -\frac{3}{5}$.

$b_1 = \frac{25}{(-\frac{3}{5})^5} = \frac{25}{-\frac{243}{3125}} = -\frac{78125}{243}$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6-1)}{q-1} = \frac{-\frac{78125}{243}((-\frac{3}{5})^6-1)}{-\frac{3}{5}-1} = \frac{-\frac{78125}{243}(\frac{729}{15625}-1)}{-\frac{8}{5}} = \frac{\frac{78125 \cdot 14896}{243 \cdot 15625}}{-\frac{8}{5}} = -\frac{5 \cdot 14896 \cdot 5}{243 \cdot 8} = -\frac{25 \cdot 1862}{243} = -\frac{46550}{243}$.

Ответ: $S_6 = \frac{186200}{243}$ или $S_6 = -\frac{46550}{243}$.

3) Дано: $b_1 = 125$, $b_3 = 5$.

Найдем знаменатель $q$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} \implies 5 = 125 \cdot q^2$.

$q^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$, откуда $q = \frac{1}{5}$ или $q = -\frac{1}{5}$.

Первый член $b_1 = 125$ дан в условии. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $q = \frac{1}{5}$.

$S_6 = \frac{125((\frac{1}{5})^6-1)}{\frac{1}{5}-1} = \frac{125(\frac{1-15625}{15625})}{-\frac{4}{5}} = \frac{125(-\frac{15624}{15625})}{-\frac{4}{5}} = \frac{125 \cdot 15624 \cdot 5}{15625 \cdot 4} = \frac{625 \cdot 15624}{15625 \cdot 4} = \frac{15624}{25 \cdot 4} = \frac{15624}{100} = 156,24 = \frac{3906}{25}$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{5}$.

$S_6 = \frac{125((-\frac{1}{5})^6-1)}{-\frac{1}{5}-1} = \frac{125(\frac{1-15625}{15625})}{-\frac{6}{5}} = \frac{125(-\frac{15624}{15625})}{-\frac{6}{5}} = \frac{125 \cdot 15624 \cdot 5}{15625 \cdot 6} = \frac{625 \cdot 15624}{15625 \cdot 6} = \frac{15624}{25 \cdot 6} = \frac{2604}{25}$.

Ответ: $S_6 = \frac{3906}{25}$ или $S_6 = \frac{2604}{25}$.

4) Дано: $b_4 = -1$, $b_6 = -100$.

Найдем знаменатель $q$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} \implies -100 = -1 \cdot q^2$.

$q^2 = 100$, откуда $q = 10$ или $q = -10$.

Найдем $b_1$ из формулы $b_4 = b_1 \cdot q^3$, то есть $b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{-1}{q^3}$.

Случай 1: $q = 10$.

$b_1 = \frac{-1}{10^3} = -\frac{1}{1000}$.

$S_6 = \frac{-\frac{1}{1000}(10^6-1)}{10-1} = \frac{-\frac{1}{1000}(999999)}{9} = -\frac{999999}{9000} = -\frac{111111}{1000} = -111,111$.

Случай 2: $q = -10$.

$b_1 = \frac{-1}{(-10)^3} = \frac{-1}{-1000} = \frac{1}{1000}$.

$S_6 = \frac{\frac{1}{1000}((-10)^6-1)}{-10-1} = \frac{\frac{1}{1000}(999999)}{-11} = -\frac{999999}{11000} = -\frac{90909}{1000} = -90,909$.

Ответ: $S_6 = -111,111$ или $S_6 = -90,909$.