Номер 3.86, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.86. Найдите сумму всех натуральных чисел:

1) кратных 3 и не превышающих 200;

2) кратных 9 и не превышающих 250.

1) Натуральные числа, кратные 3, представляют собой арифметическую прогрессию. Найдем ее параметры.

Первый член прогрессии $a_1$ — это наименьшее натуральное число, кратное 3, то есть $a_1 = 3$.

Разность прогрессии $d$ также равна 3.

Нам нужно найти сумму всех членов этой прогрессии, которые не превышают 200. Найдем последний член $a_n$, удовлетворяющий этому условию. Для этого разделим 200 на 3:

$200 \div 3 = 66$ (остаток 2).

Значит, наибольшее число, кратное 3 и не превышающее 200, равно $3 \cdot 66 = 198$. Таким образом, $a_n = 198$.

Теперь определим количество членов $n$ в этой прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$198 = 3 + (n-1) \cdot 3$

$198 = 3 + 3n - 3$

$198 = 3n$

$n = \frac{198}{3} = 66$.

Для нахождения суммы $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии используем формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим найденные значения:

$S_{66} = \frac{3 + 198}{2} \cdot 66 = \frac{201}{2} \cdot 66 = 201 \cdot 33 = 6633$.

Ответ: 6633.

2) Натуральные числа, кратные 9, также образуют арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 9$.

Разность прогрессии $d = 9$.

Найдем последний член $a_n$ прогрессии, который не превышает 250. Разделим 250 на 9:

$250 \div 9 = 27$ (остаток 7).

Наибольшее число, кратное 9 и не превышающее 250, равно $9 \cdot 27 = 243$. Таким образом, $a_n = 243$.

Теперь определим количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$243 = 9 + (n-1) \cdot 9$

$243 = 9 + 9n - 9$

$243 = 9n$

$n = \frac{243}{9} = 27$.

Найдем сумму $S_n$ по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_{27} = \frac{9 + 243}{2} \cdot 27 = \frac{252}{2} \cdot 27 = 126 \cdot 27 = 3402$.

Ответ: 3402.