Номер 3.92, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.92. Найдите сумму первых 5 членов последовательности, заданной формулой общего члена:

1) $a_n=3n+1;$

2) $a_n=n+4;$

3) $a_n=-0,5n+1;$

4) $b_n=0,2 \cdot 5^n;$

5) $b_n=3 \cdot 2^{n-1};$

6) $b_n=3^{1+n}.$

1) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 3n + 1$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Эта последовательность является арифметической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа (разности прогрессии $d$).Найдем первый член последовательности при $n=1$:$a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.Найдем пятый член последовательности при $n=5$:$a_5 = 3 \cdot 5 + 1 = 16$.Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.Подставим наши значения для $n=5$:$S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \frac{4 + 16}{2} \cdot 5 = \frac{20}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50$.Ответ: 50

2) Для последовательности, заданной формулой $a_n = n + 4$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Эта последовательность также является арифметической прогрессией.Найдем первый член последовательности:$a_1 = 1 + 4 = 5$.Найдем пятый член последовательности:$a_5 = 5 + 4 = 9$.Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:$S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \frac{5 + 9}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$.Ответ: 35

3) Для последовательности, заданной формулой $a_n = -0,5n + 1$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Это арифметическая прогрессия.Найдем первый член последовательности:$a_1 = -0,5 \cdot 1 + 1 = 0,5$.Найдем пятый член последовательности:$a_5 = -0,5 \cdot 5 + 1 = -2,5 + 1 = -1,5$.Применим формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:$S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \frac{0,5 + (-1,5)}{2} \cdot 5 = \frac{-1}{2} \cdot 5 = -2,5$.Ответ: -2,5

4) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 0,2 \cdot 5^n$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число (знаменатель прогрессии $q$).Найдем первый член последовательности при $n=1$:$b_1 = 0,2 \cdot 5^1 = 1$.Найдем знаменатель прогрессии, разделив второй член на первый:$b_2 = 0,2 \cdot 5^2 = 0,2 \cdot 25 = 5$.$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{1} = 5$.Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.Подставим наши значения для $n=5$:$S_5 = \frac{1 \cdot (5^5 - 1)}{5 - 1} = \frac{3125 - 1}{4} = \frac{3124}{4} = 781$.Ответ: 781

5) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Это геометрическая прогрессия.Найдем первый член последовательности:$b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$.Знаменатель прогрессии $q$ равен 2.Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{3 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3 \cdot (32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93$.Ответ: 93

6) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 3^{1+n}$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Это геометрическая прогрессия. Формулу можно переписать как $b_n = 3 \cdot 3^n$.Найдем первый член последовательности:$b_1 = 3^{1+1} = 3^2 = 9$.Найдем второй член и знаменатель прогрессии:$b_2 = 3^{1+2} = 3^3 = 27$.$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{27}{9} = 3$.Применим формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{9 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{9 \cdot (243 - 1)}{2} = \frac{9 \cdot 242}{2} = 9 \cdot 121 = 1089$.Ответ: 1089