Номер 3.95, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.95. Числа $x, y, z$ образуют геометрическую прогрессию, а числа $2x, 2y, 3z$ - арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отличный от 1.

Поскольку числа $x, y, z$ образуют геометрическую прогрессию, их можно выразить через первый член $x$ и знаменатель прогрессии $q$. Примем, что $x$ является первым членом прогрессии.

$y = xq$

$z = xq^2$

По условию, числа $x, 2y, 3z$ образуют арифметическую прогрессию. Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Для члена $2y$ это означает:

$2y = \frac{x + 3z}{2}$

Умножим обе части равенства на 2:

$4y = x + 3z$

Теперь составим систему уравнений, подставив выражения для $y$ и $z$ в полученное равенство:

$4(xq) = x + 3(xq^2)$

Для того чтобы прогрессии были нетривиальными (состояли не из нулей), необходимо, чтобы $x \neq 0$. Это позволяет нам разделить обе части уравнения на $x$:

$4q = 1 + 3q^2$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $aq^2 + bq + c = 0$:

$3q^2 - 4q + 1 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $q_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$q_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$q_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

В условии задачи указано, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от 1. Следовательно, корень $q_1 = 1$ не удовлетворяет условию.

Таким образом, единственным подходящим значением знаменателя является $q_2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$