Номер 3.100, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.100. Докажите, что в арифметической прогрессии ${a_n}$ $ \frac{S_n - S_k}{S_{n+k}} = \frac{n-k}{n+k} $ при $ d = 2a_1 $.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой для суммы первых $m$ членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$:

$S_m = \frac{2a_1 + d(m-1)}{2} \cdot m$

По условию задачи дано, что $d = 2a_1$. Подставим это соотношение в формулу суммы:

$S_m = \frac{2a_1 + 2a_1(m-1)}{2} \cdot m$

Теперь упростим полученное выражение. В числителе вынесем общий множитель $2a_1$ за скобки:

$S_m = \frac{2a_1(1 + (m-1))}{2} \cdot m = \frac{2a_1 \cdot m}{2} \cdot m = a_1 m^2$

Таким образом, при условии $d=2a_1$ сумма первых $m$ членов арифметической прогрессии выражается простой формулой $S_m = a_1 m^2$.

Теперь преобразуем левую часть доказываемого равенства, используя эту формулу для $S_n$, $S_k$ и $S_{n+k}$:

$S_n = a_1 n^2$

$S_k = a_1 k^2$

$S_{n+k} = a_1 (n+k)^2$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$\frac{S_n - S_k}{S_{n+k}} = \frac{a_1 n^2 - a_1 k^2}{a_1 (n+k)^2}$

Если $a_1 \neq 0$, то мы можем сократить $a_1$ в числителе и знаменателе (если $a_1 = 0$, то и $d=0$, все члены прогрессии равны нулю, и выражение $\frac{0-0}{0}$ не определено).

$\frac{a_1(n^2 - k^2)}{a_1(n+k)^2} = \frac{n^2 - k^2}{(n+k)^2}$

Применим в числителе формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{(n-k)(n+k)}{(n+k)^2}$

Поскольку $n$ и $k$ - это натуральные числа (номера членов), то $n+k \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(n+k)$:

$\frac{n-k}{n+k}$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. При выполнении условия $d=2a_1$ формула суммы $m$ членов арифметической прогрессии упрощается до $S_m = a_1 m^2$. Подстановка этого выражения в левую часть доказываемого равенства и последующие алгебраические преобразования, включая использование формулы разности квадратов, приводят его к виду правой части, $\frac{n-k}{n+k}$.