Номер 3.105, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.105. Решите уравнение $x^2-x-2=0$ графическим способом.

Для решения уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ графическим способом, преобразуем его к виду, удобному для построения графиков. Перенесем члены $x$ и $2$ в правую часть уравнения:

$x^2 = x + 2$

Теперь задача сводится к нахождению точек пересечения графиков двух функций: $y = x^2$ и $y = x + 2$. Абсциссы (координаты $x$) этих точек пересечения и будут являться корнями исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = x^2$.

Этот график — парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для более точного построения вычислим значения $y$ для нескольких значений $x$:

• при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$
• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$
• при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$

2. Построение графика функции $y = x + 2$.

Этот график — прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем их, подставив произвольные значения $x$:

• при $x = 0$, $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

3. Построение графиков и нахождение решения.

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = x + 2$ в одной системе координат.

Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках: A и B.

Координаты точки A: $(-1, 1)$.

Координаты точки B: $(2, 4)$.

Корнями уравнения являются абсциссы ($x$) этих точек. Таким образом, получаем два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Для проверки подставим найденные значения в исходное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$:

При $x = -1$: $(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Верно.

При $x = 2$: $(2)^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$. Верно.

Следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: -1; 2.