Вопросы, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Верны ли утверждения:а) всякая монотонная последовательность имеет предел;б) всякая ограниченная последовательность имеет предел.Приведите примеры.

2. Что такое числовой ряд, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия?

3. Как следует понимать сумму ряда?

4. Напишите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и докажите ее.

1. а) Утверждение «всякая монотонная последовательность имеет предел» неверно. Монотонная последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена (согласно теореме Вейерштрасса о сходимости монотонной последовательности). Если монотонная последовательность не ограничена, она имеет бесконечный предел (стремится к $+\infty$ или $-\infty$), но не конечный предел в строгом понимании этого термина.
Пример: Последовательность, заданная формулой $a_n = n$ (т.е. 1, 2, 3, ...), является монотонно возрастающей, так как $a_{n+1} > a_n$ для любого $n$. Однако она не ограничена сверху, и ее предел равен плюс бесконечности: $\lim_{n \to \infty} n = +\infty$. Таким образом, у нее нет конечного предела.
Ответ: утверждение неверно.

б) Утверждение «всякая ограниченная последовательность имеет предел» также неверно. Для сходимости ограниченной последовательности необходимо дополнительное условие, например, монотонность. Ограниченная последовательность может не иметь предела, если ее члены колеблются и не стремятся к одному конкретному значению.
Пример: Последовательность $a_n = (-1)^n$ (т.е. -1, 1, -1, 1, ...). Эта последовательность ограничена, так как все ее члены находятся в отрезке $[-1, 1]$. Однако она не имеет предела, поскольку ее члены попеременно принимают значения -1 и 1 и не приближаются ни к какому одному числу.
Ответ: утверждение неверно.

2.Числовой ряд — это выражение вида $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots$, которое представляет собой формальную бесконечную сумму членов числовой последовательности $\{a_n\}$. Числовой ряд принято обозначать символом $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Числа $a_n$ называются членами ряда.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия $b_n = b_1 q^{n-1}$, знаменатель $q$ которой удовлетворяет условию $|q| < 1$. Название «убывающая» связано с тем, что при выполнении этого условия модули членов прогрессии стремятся к нулю ($|b_n| \to 0$ при $n \to \infty$), что является необходимым условием сходимости соответствующего ряда.
Ответ: даны определения числового ряда и бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

3.Сумма ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ определяется через понятие предела последовательности частичных сумм.
Сначала формируется последовательность частичных сумм $\{S_n\}$, где $n$-я частичная сумма $S_n$ — это сумма первых $n$ членов ряда: $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$.
Суммой ряда $S$ называется конечный предел последовательности его частичных сумм $\{S_n\}$ при $n \to \infty$, если он существует. То есть, $S = \lim_{n \to \infty} S_n$.
Если этот предел существует и является конечным числом, ряд называют сходящимся, а число $S$ — его суммой. Если предел не существует или бесконечен, ряд называют расходящимся.
Ответ: сумма ряда — это конечный предел последовательности его частичных сумм.

4. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$, где $|q| < 1$, выглядит следующим образом:
$S = \frac{b_1}{1-q}$
Доказательство. Сумма ряда $S$ по определению равна пределу последовательности его частичных сумм $S = \lim_{n \to \infty} S_n$. Формула для $n$-й частичной суммы геометрической прогрессии имеет вид $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ (при $q \neq 1$). Найдем предел этого выражения при $n \to \infty$. Так как по условию прогрессия является бесконечно убывающей, то $|q| < 1$. Для таких значений $q$ предел $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$.
Следовательно,
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1 - \lim_{n \to \infty} q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$.
Формула доказана.
Ответ: формула суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$, доказательство приведено выше.