Номер 3.102, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.102. Найдите сумму первых $n$ членов последовательности

$a_n = 2(n+3^{n-1})-3.$

Чтобы найти сумму первых $n$ членов последовательности $S_n$, необходимо вычислить сумму $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$.

Общий член последовательности задан формулой $a_n = 2(n + 3^{n-1}) - 3$. Преобразуем эту формулу, раскрыв скобки:

$a_n = 2n + 2 \cdot 3^{n-1} - 3$

Теперь запишем выражение для суммы $S_n$, подставив в него выражение для $a_k$:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k + 2 \cdot 3^{k-1} - 3)$

Используя свойство линейности суммы, мы можем разбить ее на три отдельные суммы:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} 3$

$S_n = 2\sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} 3$

Вычислим каждую из этих трех сумм по отдельности.

1. Первая сумма, $\sum_{k=1}^{n} k$, является суммой первых $n$ натуральных чисел (сумма членов арифметической прогрессии). Эта сумма вычисляется по известной формуле $\frac{n(n+1)}{2}$. Таким образом, первая часть нашего выражения равна:

$2 \cdot \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) = n^2 + n$

2. Вторая сумма, $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$, является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 3^{1-1} = 3^0 = 1$ и знаменатель $q = 3$. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$. В нашем случае это будет $\frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n-1}{2}$. Таким образом, вторая часть нашего выражения равна:

$2 \cdot \sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = 2 \cdot \frac{3^n-1}{2} = 3^n - 1$

3. Третья сумма, $\sum_{k=1}^{n} 3$, представляет собой сумму $n$ слагаемых, каждое из которых равно 3. Следовательно, эта сумма равна $3n$.

Теперь мы можем собрать все части вместе, чтобы найти итоговую сумму $S_n$:

$S_n = (n^2 + n) + (3^n - 1) - 3n$

Упрощая это выражение, получаем окончательную формулу:

$S_n = n^2 + n - 3n + 3^n - 1 = n^2 - 2n + 3^n - 1$

Ответ: $S_n = n^2 - 2n + 3^n - 1$.