Номер 3.96, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.96. Найдите сумму квадратов $n$ членов геометрической прогрессии, первый член которой равен $a$, а знаменатель равен $q$.

Пусть дана геометрическая прогрессия $\{b_n\}$ с первым членом $b_1 = a$ и знаменателем $q$.Тогда члены этой прогрессии имеют вид: $b_1=a$, $b_2=aq$, $b_3=aq^2$, ..., $b_n=aq^{n-1}$.

Требуется найти сумму квадратов этих $n$ членов. Обозначим эту сумму $S'$.
$S' = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + \dots + b_n^2 = (a)^2 + (aq)^2 + (aq^2)^2 + \dots + (aq^{n-1})^2$.

Раскроем скобки и упростим выражение:
$S' = a^2 + a^2q^2 + a^2q^4 + \dots + a^2q^{2(n-1)}$.

Слагаемые в этой сумме образуют новую геометрическую прогрессию, у которой:
- первый член $c_1 = a^2$;
- знаменатель $q' = \frac{a^2q^2}{a^2} = q^2$;
- количество членов равно $n$.

Для нахождения суммы $S'$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Рассмотрим два случая в зависимости от значения знаменателя $q'$.

1. Если знаменатель новой прогрессии $q' \neq 1$, то есть $q^2 \neq 1$ (что эквивалентно $q \neq 1$ и $q \neq -1$).
Сумма находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставив параметры нашей новой прогрессии ($c_1=a^2$, $q'=q^2$), получаем:
$S' = \frac{a^2((q^2)^n - 1)}{q^2 - 1} = \frac{a^2(q^{2n} - 1)}{q^2 - 1}$.

2. Если знаменатель новой прогрессии $q' = 1$, то есть $q^2 = 1$ (что эквивалентно $q = 1$ или $q = -1$).
В этом случае все члены новой прогрессии равны ее первому члену $c_1 = a^2$. Сумма $n$ таких членов равна произведению количества членов на первый член:
$S' = n \cdot c_1 = na^2$.

Ответ: Сумма квадратов $n$ членов геометрической прогрессии равна $\frac{a^2(q^{2n} - 1)}{q^2 - 1}$ при $q^2 \neq 1$, и $na^2$ при $q^2 = 1$.