Страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.90. Найдите $S_{20}$, если в арифметической прогрессии $a_6 + a_9 + a_{12} + a_{15} = 20$.

Пусть дана арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию задачи нам дано, что $a_6 + a_9 + a_{12} + a_{15} = 20$.
Выразим каждый член этой суммы через $a_1$ и $d$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 8d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 14d) = 20$
Сгруппируем и сложим слагаемые с $a_1$ и с $d$:
$4a_1 + (5+8+11+14)d = 20$
$4a_1 + 38d = 20$
Разделим обе части уравнения на 2:
$2a_1 + 19d = 10$

Теперь нам нужно найти сумму первых 20 членов прогрессии, $S_{20}$.
Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Подставим $n=20$ в эту формулу:
$S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Мы уже нашли, что $2a_1 + 19d = 10$. Подставим это значение в формулу для $S_{20}$:
$S_{20} = 10 \cdot 10 = 100$

Ответ: 100

3.91. Найдите сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии:

1) $1, 3, 3^2, \ldots$;

2) $2, 2^2, 2^3, \ldots$;

3) $1, -x, x^2, \ldots$; $x \neq \pm 1$;

4) $1, x^2, x^4, \ldots$; $x \neq \pm 1$;

5) $\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$;

6) $1, -x^3, x^6, \ldots$; $x \neq -1$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q \neq 1$ используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

1) В геометрической прогрессии $1, 3, 3^2, ...$ первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{3}{1} = 3$. Сумма первых $n$ членов равна: $S_n = \frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.

Ответ: $S_n = \frac{3^n - 1}{2}$.

2) В геометрической прогрессии $2, 2^2, 2^3, ...$ первый член $b_1 = 2$, а знаменатель $q = \frac{2^2}{2} = 2$. Сумма первых $n$ членов равна: $S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1)$.

Ответ: $S_n = 2(2^n - 1)$.

3) В геометрической прогрессии $1, -x, x^2, ...$ (при $x \neq \pm 1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x}{1} = -x$. Условие $x \neq -1$ гарантирует, что $q \neq 1$. Для удобства вычислений используем формулу в виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Подставляя значения, получаем: $S_n = \frac{1 \cdot (1 - (-x)^n)}{1 - (-x)} = \frac{1 - (-x)^n}{1+x}$.

Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x)^n}{1+x}$.

4) В геометрической прогрессии $1, x^2, x^4, ...$ (при $x \neq \pm 1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{x^2}{1} = x^2$. Условие $x \neq \pm 1$ гарантирует, что $q \neq 1$. Сумма первых $n$ членов равна: $S_n = \frac{1 \cdot ((x^2)^n - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.

Ответ: $S_n = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.

5) В геометрической прогрессии $\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...$ первый член $b_1 = \frac{1}{2}$, а знаменатель $q = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{1}{2}$. Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$: $S_n = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)$.

Ответ: $S_n = \frac{1}{3}\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)$.

6) В геометрической прогрессии $1, -x^3, x^6, ...$ (при $x \neq -1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x^3}{1} = -x^3$. Условие $x \neq -1$ гарантирует, что $q \neq 1$ (поскольку $(-1)^3 = -1$). Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$: $S_n = \frac{1 \cdot (1 - (-x^3)^n)}{1 - (-x^3)} = \frac{1 - (-x^3)^n}{1+x^3}$.

Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x^3)^n}{1+x^3}$.

3.92. Найдите сумму первых 5 членов последовательности, заданной формулой общего члена:

1) $a_n=3n+1;$

2) $a_n=n+4;$

3) $a_n=-0,5n+1;$

4) $b_n=0,2 \cdot 5^n;$

5) $b_n=3 \cdot 2^{n-1};$

6) $b_n=3^{1+n}.$

1) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 3n + 1$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Эта последовательность является арифметической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа (разности прогрессии $d$).Найдем первый член последовательности при $n=1$:$a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.Найдем пятый член последовательности при $n=5$:$a_5 = 3 \cdot 5 + 1 = 16$.Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.Подставим наши значения для $n=5$:$S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \frac{4 + 16}{2} \cdot 5 = \frac{20}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50$.Ответ: 50

2) Для последовательности, заданной формулой $a_n = n + 4$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Эта последовательность также является арифметической прогрессией.Найдем первый член последовательности:$a_1 = 1 + 4 = 5$.Найдем пятый член последовательности:$a_5 = 5 + 4 = 9$.Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:$S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \frac{5 + 9}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$.Ответ: 35

3) Для последовательности, заданной формулой $a_n = -0,5n + 1$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Это арифметическая прогрессия.Найдем первый член последовательности:$a_1 = -0,5 \cdot 1 + 1 = 0,5$.Найдем пятый член последовательности:$a_5 = -0,5 \cdot 5 + 1 = -2,5 + 1 = -1,5$.Применим формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:$S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \frac{0,5 + (-1,5)}{2} \cdot 5 = \frac{-1}{2} \cdot 5 = -2,5$.Ответ: -2,5

4) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 0,2 \cdot 5^n$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число (знаменатель прогрессии $q$).Найдем первый член последовательности при $n=1$:$b_1 = 0,2 \cdot 5^1 = 1$.Найдем знаменатель прогрессии, разделив второй член на первый:$b_2 = 0,2 \cdot 5^2 = 0,2 \cdot 25 = 5$.$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{1} = 5$.Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.Подставим наши значения для $n=5$:$S_5 = \frac{1 \cdot (5^5 - 1)}{5 - 1} = \frac{3125 - 1}{4} = \frac{3124}{4} = 781$.Ответ: 781

5) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Это геометрическая прогрессия.Найдем первый член последовательности:$b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$.Знаменатель прогрессии $q$ равен 2.Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{3 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3 \cdot (32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93$.Ответ: 93

6) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 3^{1+n}$, найдем сумму ее первых 5 членов, $S_5$.Это геометрическая прогрессия. Формулу можно переписать как $b_n = 3 \cdot 3^n$.Найдем первый член последовательности:$b_1 = 3^{1+1} = 3^2 = 9$.Найдем второй член и знаменатель прогрессии:$b_2 = 3^{1+2} = 3^3 = 27$.$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{27}{9} = 3$.Применим формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{9 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{9 \cdot (243 - 1)}{2} = \frac{9 \cdot 242}{2} = 9 \cdot 121 = 1089$.Ответ: 1089

3.93. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам соответственно прибавить 1, 4 и 19, то полученные числа составят первые три члена геометрической прогрессии. Найдите данные три числа.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $a_1, a_2, a_3$. Для удобства решения представим эти числа в виде $a-d, a, a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно первому условию, сумма этих трех чисел равна 15. Составим и решим уравнение: $(a-d) + a + (a+d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Таким образом, три числа арифметической прогрессии можно записать как: $5-d, 5, 5+d$.

Согласно второму условию, если к этим числам соответственно прибавить 1, 4 и 19, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдем эти новые числа:

Первый член новой прогрессии: $b_1 = (5-d) + 1 = 6-d$

Второй член новой прогрессии: $b_2 = 5 + 4 = 9$

Третий член новой прогрессии: $b_3 = (5+d) + 19 = 24+d$

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии: квадрат любого ее члена (начиная со второго) равен произведению соседних с ним членов. Для наших чисел это означает: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим полученные выражения в это равенство: $9^2 = (6-d)(24+d)$

$81 = 144 + 6d - 24d - d^2$

$81 = 144 - 18d - d^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $d^2 + 18d + 81 - 144 = 0$ $d^2 + 18d - 63 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $d$. Найдем дискриминант: $D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.

Найдем два возможных значения для разности $d$: $d_1 = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $d_2 = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Теперь найдем два возможных набора исходных чисел, подставив значения $d$ в выражения $5-d, 5, 5+d$.

1. Если $d = 3$, то искомые числа: $5-3, 5, 5+3$, что равно $2, 5, 8$.
Проверка: Сумма $2+5+8=15$. Новые числа: $2+1=3, 5+4=9, 8+19=27$. Последовательность $3, 9, 27$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=3$.

2. Если $d = -21$, то искомые числа: $5-(-21), 5, 5+(-21)$, что равно $26, 5, -16$.
Проверка: Сумма $26+5+(-16)=15$. Новые числа: $26+1=27, 5+4=9, -16+19=3$. Последовательность $27, 9, 3$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=1/3$.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $2, 5, 8$ или $26, 5, -16$.

3.94. Второй, первый и третий члены арифметической прогрессии с разностью, отличной от нуля, взятые в указанном порядке, составляют первые три члена геометрической прогрессии. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — ее разность. По условию задачи, разность отлична от нуля, то есть $d \neq 0$.

Члены этой арифметической прогрессии:

• первый член: $a_1$
• второй член: $a_2 = a_1 + d$
• третий член: $a_3 = a_1 + 2d$

По условию, второй, первый и третий члены арифметической прогрессии, взятые в указанном порядке ($a_2, a_1, a_3$), составляют первые три члена геометрической прогрессии. Обозначим их $b_1, b_2, b_3$ соответственно:

• $b_1 = a_2 = a_1 + d$
• $b_2 = a_1$
• $b_3 = a_3 = a_1 + 2d$

Для любой геометрической прогрессии справедливо характеристическое свойство: квадрат любого члена (начиная со второго) равен произведению двух соседних с ним членов. Для наших членов это свойство записывается как:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство выражения для $b_1, b_2, b_3$ через $a_1$ и $d$:

$a_1^2 = (a_1 + d)(a_1 + 2d)$

Раскроем скобки в правой части уравнения и упростим его:

$a_1^2 = a_1^2 + 2a_1d + a_1d + 2d^2$

$a_1^2 = a_1^2 + 3a_1d + 2d^2$

Вычтем $a_1^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = 3a_1d + 2d^2$

Вынесем общий множитель $d$ за скобки:

$d(3a_1 + 2d) = 0$

Так как по условию $d \neq 0$, то равенство будет верным только если второй множитель равен нулю:

$3a_1 + 2d = 0$

Отсюда можно выразить $a_1$ через $d$:

$3a_1 = -2d$

$a_1 = -\frac{2}{3}d$

Теперь найдем знаменатель $q$ геометрической прогрессии. Он равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему. Найдем его как отношение $b_2$ к $b_1$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a_1}{a_1 + d}$

Подставим в это выражение найденное нами соотношение $a_1 = -\frac{2}{3}d$:

$q = \frac{-\frac{2}{3}d}{-\frac{2}{3}d + d} = \frac{-\frac{2}{3}d}{\frac{1}{3}d}$

Поскольку $d \neq 0$, мы можем сократить дробь на $d$:

$q = \frac{-2/3}{1/3} = -2$

Ответ: -2

3.95. Числа $x, y, z$ образуют геометрическую прогрессию, а числа $2x, 2y, 3z$ - арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отличный от 1.

Поскольку числа $x, y, z$ образуют геометрическую прогрессию, их можно выразить через первый член $x$ и знаменатель прогрессии $q$. Примем, что $x$ является первым членом прогрессии.

$y = xq$

$z = xq^2$

По условию, числа $x, 2y, 3z$ образуют арифметическую прогрессию. Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Для члена $2y$ это означает:

$2y = \frac{x + 3z}{2}$

Умножим обе части равенства на 2:

$4y = x + 3z$

Теперь составим систему уравнений, подставив выражения для $y$ и $z$ в полученное равенство:

$4(xq) = x + 3(xq^2)$

Для того чтобы прогрессии были нетривиальными (состояли не из нулей), необходимо, чтобы $x \neq 0$. Это позволяет нам разделить обе части уравнения на $x$:

$4q = 1 + 3q^2$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $aq^2 + bq + c = 0$:

$3q^2 - 4q + 1 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $q_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$q_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$q_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

В условии задачи указано, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от 1. Следовательно, корень $q_1 = 1$ не удовлетворяет условию.

Таким образом, единственным подходящим значением знаменателя является $q_2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

3.96. Найдите сумму квадратов $n$ членов геометрической прогрессии, первый член которой равен $a$, а знаменатель равен $q$.

Пусть дана геометрическая прогрессия $\{b_n\}$ с первым членом $b_1 = a$ и знаменателем $q$.Тогда члены этой прогрессии имеют вид: $b_1=a$, $b_2=aq$, $b_3=aq^2$, ..., $b_n=aq^{n-1}$.

Требуется найти сумму квадратов этих $n$ членов. Обозначим эту сумму $S'$.
$S' = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + \dots + b_n^2 = (a)^2 + (aq)^2 + (aq^2)^2 + \dots + (aq^{n-1})^2$.

Раскроем скобки и упростим выражение:
$S' = a^2 + a^2q^2 + a^2q^4 + \dots + a^2q^{2(n-1)}$.

Слагаемые в этой сумме образуют новую геометрическую прогрессию, у которой:
- первый член $c_1 = a^2$;
- знаменатель $q' = \frac{a^2q^2}{a^2} = q^2$;
- количество членов равно $n$.

Для нахождения суммы $S'$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Рассмотрим два случая в зависимости от значения знаменателя $q'$.

1. Если знаменатель новой прогрессии $q' \neq 1$, то есть $q^2 \neq 1$ (что эквивалентно $q \neq 1$ и $q \neq -1$).
Сумма находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставив параметры нашей новой прогрессии ($c_1=a^2$, $q'=q^2$), получаем:
$S' = \frac{a^2((q^2)^n - 1)}{q^2 - 1} = \frac{a^2(q^{2n} - 1)}{q^2 - 1}$.

2. Если знаменатель новой прогрессии $q' = 1$, то есть $q^2 = 1$ (что эквивалентно $q = 1$ или $q = -1$).
В этом случае все члены новой прогрессии равны ее первому члену $c_1 = a^2$. Сумма $n$ таких членов равна произведению количества членов на первый член:
$S' = n \cdot c_1 = na^2$.

Ответ: Сумма квадратов $n$ членов геометрической прогрессии равна $\frac{a^2(q^{2n} - 1)}{q^2 - 1}$ при $q^2 \neq 1$, и $na^2$ при $q^2 = 1$.

3.97. Выразите произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии $\lbrace a_n \rbrace$ через $a_1$ и $a_n$.

Пусть $P_n$ – произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии $\{a_n\}$. По определению, $P_n = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n$.

Запишем это произведение дважды: один раз в прямом порядке, а второй раз – в обратном.

$P_n = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_n$

$P_n = a_n \cdot a_{n-1} \cdot \ldots \cdot a_2 \cdot a_1$

Теперь перемножим эти два равенства:

$P_n^2 = (a_1 \cdot a_n) \cdot (a_2 \cdot a_{n-1}) \cdot \ldots \cdot (a_{n-1} \cdot a_2) \cdot (a_n \cdot a_1)$

В геометрической прогрессии произведение членов, равноудаленных от концов, является постоянной величиной. Докажем это. Пусть $q$ – знаменатель прогрессии. Тогда $k$-й член прогрессии равен $a_k = a_1 \cdot q^{k-1}$. Член, находящийся на $k$-м месте с конца, имеет номер $n-k+1$, и он равен $a_{n-k+1} = a_1 \cdot q^{n-k}$.

Найдем их произведение:

$a_k \cdot a_{n-k+1} = (a_1 \cdot q^{k-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{n-k}) = a_1^2 \cdot q^{k-1+n-k} = a_1^2 \cdot q^{n-1}$

Так как $n$-й член прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, то можно записать:

$a_k \cdot a_{n-k+1} = a_1 \cdot (a_1 \cdot q^{n-1}) = a_1 \cdot a_n$

Это означает, что произведение любого члена на соответствующий ему равноудаленный от конца член равно произведению первого и последнего членов.

В выражении для $P_n^2$ всего $n$ таких пар, и произведение в каждой паре равно $a_1 \cdot a_n$. Следовательно:

$P_n^2 = (a_1 \cdot a_n)^n$

Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получаем искомую формулу для произведения первых $n$ членов. Если все члены прогрессии положительны, то и их произведение положительно.

$P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n} = (a_1 \cdot a_n)^{\frac{n}{2}}$

Ответ: $(a_1 \cdot a_n)^{\frac{n}{2}}$

3.98. Известно, что ${u_n}$ - геометрическая прогрессия, в которой ${u_1+u_5=51}$ и ${u_2+u_6=102}$. При каком значении ${n}$ верно равенство ${S_n = 3069}$?

Пусть $u_1$ - первый член геометрической прогрессии, а $q$ - ее знаменатель. Тогда $n$-й член прогрессии задается формулой $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} u_1 + u_5 = 51 \\ u_2 + u_6 = 102 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $u_1$ и $q$:

$ \begin{cases} u_1 + u_1 \cdot q^4 = 51 \\ u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^5 = 102 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} u_1(1 + q^4) = 51 & \text{(1)} \\ u_1 q(1 + q^4) = 102 & \text{(2)} \end{cases} $

Разделим уравнение (2) на уравнение (1). Так как правая часть уравнения (1) не равна нулю, то и $u_1 \neq 0$ и $(1+q^4) \neq 0$, поэтому деление возможно.

$\frac{u_1 q(1 + q^4)}{u_1(1 + q^4)} = \frac{102}{51}$

Сократив общие множители, получаем:

$q = 2$

Теперь найдем первый член прогрессии $u_1$, подставив значение $q=2$ в уравнение (1):

$u_1(1 + 2^4) = 51$

$u_1(1 + 16) = 51$

$u_1 \cdot 17 = 51$

$u_1 = \frac{51}{17} = 3$

Мы определили, что первый член прогрессии $u_1 = 3$, а знаменатель $q = 2$.

Теперь необходимо найти значение $n$, для которого сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n$ равна 3069. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{u_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения $u_1 = 3$, $q = 2$ и $S_n = 3069$:

$3069 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$

$3069 = \frac{3(2^n - 1)}{1}$

$3069 = 3(2^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$1023 = 2^n - 1$

Перенесем -1 в левую часть:

$1024 = 2^n$

Чтобы найти $n$, представим 1024 как степень двойки. Известно, что $2^{10} = 1024$.

Отсюда следует, что $n = 10$.

Ответ: 10

3.99. Найдите сумму первых $n$ членов последовательности 1; 11; 111; 1111; ... .

Обозначим $k$-й член данной последовательности как $a_k$. Последовательность имеет вид: $a_1=1$, $a_2=11$, $a_3=111$, и так далее, где $a_k$ — это число, состоящее из $k$ единиц.

Для нахождения суммы первых $n$ членов этой последовательности, $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, представим каждый член $a_k$ в виде математического выражения.

Каждый член $a_k$ можно записать следующим образом:$a_k = \underbrace{11...1}_{k \text{ раз}} = 1 \cdot 10^{k-1} + 1 \cdot 10^{k-2} + \dots + 1 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0$.Это сумма геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 10.$a_k = \frac{1(10^k - 1)}{10 - 1} = \frac{10^k - 1}{9}$.

Теперь найдем сумму $S_n$:$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k - 1}{9}$.

Вынесем константу $\frac{1}{9}$ за знак суммы и разделим сумму на две:$S_n = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k - 1) = \frac{1}{9} \left( \sum_{k=1}^{n} 10^k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$.

Первая часть в скобках, $\sum_{k=1}^{n} 10^k = 10^1 + 10^2 + \dots + 10^n$, представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1=10$ и знаменатель $q=10$.Сумма этой прогрессии вычисляется по формуле $S_{GP} = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$:$\sum_{k=1}^{n} 10^k = 10 \cdot \frac{10^n - 1}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9} = \frac{10^{n+1} - 10}{9}$.

Вторая часть в скобках, $\sum_{k=1}^{n} 1$, является суммой $n$ единиц:$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$.

Теперь подставим результаты обратно в выражение для $S_n$:$S_n = \frac{1}{9} \left( \frac{10^{n+1} - 10}{9} - n \right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и упростим его:$S_n = \frac{1}{9} \left( \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right) = \frac{10^{n+1} - 9n - 10}{81}$.

Ответ: $S_n = \frac{10^{n+1} - 9n - 10}{81}$.

3.100. Докажите, что в арифметической прогрессии ${a_n}$ $ \frac{S_n - S_k}{S_{n+k}} = \frac{n-k}{n+k} $ при $ d = 2a_1 $.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой для суммы первых $m$ членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$:

$S_m = \frac{2a_1 + d(m-1)}{2} \cdot m$

По условию задачи дано, что $d = 2a_1$. Подставим это соотношение в формулу суммы:

$S_m = \frac{2a_1 + 2a_1(m-1)}{2} \cdot m$

Теперь упростим полученное выражение. В числителе вынесем общий множитель $2a_1$ за скобки:

$S_m = \frac{2a_1(1 + (m-1))}{2} \cdot m = \frac{2a_1 \cdot m}{2} \cdot m = a_1 m^2$

Таким образом, при условии $d=2a_1$ сумма первых $m$ членов арифметической прогрессии выражается простой формулой $S_m = a_1 m^2$.

Теперь преобразуем левую часть доказываемого равенства, используя эту формулу для $S_n$, $S_k$ и $S_{n+k}$:

$S_n = a_1 n^2$

$S_k = a_1 k^2$

$S_{n+k} = a_1 (n+k)^2$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$\frac{S_n - S_k}{S_{n+k}} = \frac{a_1 n^2 - a_1 k^2}{a_1 (n+k)^2}$

Если $a_1 \neq 0$, то мы можем сократить $a_1$ в числителе и знаменателе (если $a_1 = 0$, то и $d=0$, все члены прогрессии равны нулю, и выражение $\frac{0-0}{0}$ не определено).

$\frac{a_1(n^2 - k^2)}{a_1(n+k)^2} = \frac{n^2 - k^2}{(n+k)^2}$

Применим в числителе формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{(n-k)(n+k)}{(n+k)^2}$

Поскольку $n$ и $k$ - это натуральные числа (номера членов), то $n+k \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(n+k)$:

$\frac{n-k}{n+k}$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. При выполнении условия $d=2a_1$ формула суммы $m$ членов арифметической прогрессии упрощается до $S_m = a_1 m^2$. Подстановка этого выражения в левую часть доказываемого равенства и последующие алгебраические преобразования, включая использование формулы разности квадратов, приводят его к виду правой части, $\frac{n-k}{n+k}$.