Номер 3.94, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.94. Второй, первый и третий члены арифметической прогрессии с разностью, отличной от нуля, взятые в указанном порядке, составляют первые три члена геометрической прогрессии. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — ее разность. По условию задачи, разность отлична от нуля, то есть $d \neq 0$.

Члены этой арифметической прогрессии:

• первый член: $a_1$
• второй член: $a_2 = a_1 + d$
• третий член: $a_3 = a_1 + 2d$

По условию, второй, первый и третий члены арифметической прогрессии, взятые в указанном порядке ($a_2, a_1, a_3$), составляют первые три члена геометрической прогрессии. Обозначим их $b_1, b_2, b_3$ соответственно:

• $b_1 = a_2 = a_1 + d$
• $b_2 = a_1$
• $b_3 = a_3 = a_1 + 2d$

Для любой геометрической прогрессии справедливо характеристическое свойство: квадрат любого члена (начиная со второго) равен произведению двух соседних с ним членов. Для наших членов это свойство записывается как:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство выражения для $b_1, b_2, b_3$ через $a_1$ и $d$:

$a_1^2 = (a_1 + d)(a_1 + 2d)$

Раскроем скобки в правой части уравнения и упростим его:

$a_1^2 = a_1^2 + 2a_1d + a_1d + 2d^2$

$a_1^2 = a_1^2 + 3a_1d + 2d^2$

Вычтем $a_1^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = 3a_1d + 2d^2$

Вынесем общий множитель $d$ за скобки:

$d(3a_1 + 2d) = 0$

Так как по условию $d \neq 0$, то равенство будет верным только если второй множитель равен нулю:

$3a_1 + 2d = 0$

Отсюда можно выразить $a_1$ через $d$:

$3a_1 = -2d$

$a_1 = -\frac{2}{3}d$

Теперь найдем знаменатель $q$ геометрической прогрессии. Он равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему. Найдем его как отношение $b_2$ к $b_1$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a_1}{a_1 + d}$

Подставим в это выражение найденное нами соотношение $a_1 = -\frac{2}{3}d$:

$q = \frac{-\frac{2}{3}d}{-\frac{2}{3}d + d} = \frac{-\frac{2}{3}d}{\frac{1}{3}d}$

Поскольку $d \neq 0$, мы можем сократить дробь на $d$:

$q = \frac{-2/3}{1/3} = -2$

Ответ: -2