Номер 3.99, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.99. Найдите сумму первых $n$ членов последовательности 1; 11; 111; 1111; ... .

Обозначим $k$-й член данной последовательности как $a_k$. Последовательность имеет вид: $a_1=1$, $a_2=11$, $a_3=111$, и так далее, где $a_k$ — это число, состоящее из $k$ единиц.

Для нахождения суммы первых $n$ членов этой последовательности, $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, представим каждый член $a_k$ в виде математического выражения.

Каждый член $a_k$ можно записать следующим образом:$a_k = \underbrace{11...1}_{k \text{ раз}} = 1 \cdot 10^{k-1} + 1 \cdot 10^{k-2} + \dots + 1 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0$.Это сумма геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 10.$a_k = \frac{1(10^k - 1)}{10 - 1} = \frac{10^k - 1}{9}$.

Теперь найдем сумму $S_n$:$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k - 1}{9}$.

Вынесем константу $\frac{1}{9}$ за знак суммы и разделим сумму на две:$S_n = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k - 1) = \frac{1}{9} \left( \sum_{k=1}^{n} 10^k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$.

Первая часть в скобках, $\sum_{k=1}^{n} 10^k = 10^1 + 10^2 + \dots + 10^n$, представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1=10$ и знаменатель $q=10$.Сумма этой прогрессии вычисляется по формуле $S_{GP} = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$:$\sum_{k=1}^{n} 10^k = 10 \cdot \frac{10^n - 1}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9} = \frac{10^{n+1} - 10}{9}$.

Вторая часть в скобках, $\sum_{k=1}^{n} 1$, является суммой $n$ единиц:$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$.

Теперь подставим результаты обратно в выражение для $S_n$:$S_n = \frac{1}{9} \left( \frac{10^{n+1} - 10}{9} - n \right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и упростим его:$S_n = \frac{1}{9} \left( \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right) = \frac{10^{n+1} - 9n - 10}{81}$.

Ответ: $S_n = \frac{10^{n+1} - 9n - 10}{81}$.