Номер 3.104, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.104. Докажите, что значение выражения $\frac{9 - 4\sqrt{5}}{9 + 4\sqrt{5}} + \frac{9 + 4\sqrt{5}}{9 - 4\sqrt{5}}$ равно целому числу.

Чтобы доказать, что значение выражения является целым числом, необходимо его упростить. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{9 - 4\sqrt{5}}{9 + 4\sqrt{5}} + \frac{9 + 4\sqrt{5}}{9 - 4\sqrt{5}}$

Общий знаменатель – это произведение знаменателей дробей: $(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5})$. Данное выражение является произведением сопряженных чисел, и его можно вычислить по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - (16 \cdot 5) = 81 - 80 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю, который равен 1, и сложим их. Числитель итоговой дроби будет равен сумме квадратов $(9 - 4\sqrt{5})^2$ и $(9 + 4\sqrt{5})^2$:

$\frac{(9 - 4\sqrt{5})^2 + (9 + 4\sqrt{5})^2}{(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5})} = \frac{(9 - 4\sqrt{5})^2 + (9 + 4\sqrt{5})^2}{1}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(9 - 4\sqrt{5})^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4\sqrt{5} + (4\sqrt{5})^2 = 81 - 72\sqrt{5} + 80 = 161 - 72\sqrt{5}$.

$(9 + 4\sqrt{5})^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot 4\sqrt{5} + (4\sqrt{5})^2 = 81 + 72\sqrt{5} + 80 = 161 + 72\sqrt{5}$.

Сложим полученные результаты:

$(161 - 72\sqrt{5}) + (161 + 72\sqrt{5}) = 161 + 161 - 72\sqrt{5} + 72\sqrt{5} = 322$.

Итак, значение исходного выражения равно $\frac{322}{1} = 322$. Поскольку 322 — это целое число, то утверждение доказано.

Ответ: 322.