Номер 3.106, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.106. Какая из последовательностей является бесконечно убывающей геометрической прогрессией:

1) $x_n = \frac{1}{3^n}$;

2) $y_n = \frac{3^n - 2}{3^n}$;

3) $z_n = \frac{64}{2^n}$?

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия, знаменатель $q$ которой по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Чтобы определить, какая из последовательностей удовлетворяет этому определению, необходимо для каждой из них проверить два условия: является ли она геометрической прогрессией, и если да, то выполняется ли для ее знаменателя условие $|q| < 1$.

1) $x_n = \frac{1}{3^n}$

Для проверки, является ли последовательность $x_n$ геометрической прогрессией, найдем отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1 / 3^{n+1}}{1 / 3^n} = \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{3^n}{3^n \cdot 3} = \frac{1}{3}$.

Так как отношение постоянно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$. Проверим условие для бесконечно убывающей прогрессии: $|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$.

Условие выполняется, следовательно, последовательность $x_n$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

2) $y_n = \frac{3^n - 2}{3^n}$

Найдем несколько первых членов последовательности, чтобы проверить, является ли она геометрической прогрессией: При $n=1$, $y_1 = \frac{3^1 - 2}{3^1} = \frac{1}{3}$. При $n=2$, $y_2 = \frac{3^2 - 2}{3^2} = \frac{9-2}{9} = \frac{7}{9}$. При $n=3$, $y_3 = \frac{3^3 - 2}{3^3} = \frac{27-2}{27} = \frac{25}{27}$.

Найдем отношение соседних членов: $\frac{y_2}{y_1} = \frac{7/9}{1/3} = \frac{7}{9} \cdot 3 = \frac{7}{3}$. $\frac{y_3}{y_2} = \frac{25/27}{7/9} = \frac{25}{27} \cdot \frac{9}{7} = \frac{25}{21}$.

Поскольку $\frac{y_2}{y_1} \neq \frac{y_3}{y_2}$, отношение не является постоянной величиной, значит, последовательность $y_n$ не является геометрической прогрессией.

3) $z_n = \frac{64}{2^n}$

Для проверки, является ли последовательность $z_n$ геометрической прогрессией, найдем отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{z_{n+1}}{z_n} = \frac{64 / 2^{n+1}}{64 / 2^n} = \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{2^n}{2^n \cdot 2} = \frac{1}{2}$.

Так как отношение постоянно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Проверим условие для бесконечно убывающей прогрессии: $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$.

Условие выполняется, следовательно, последовательность $z_n$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Анализ показал, что две из трех предложенных последовательностей, а именно $x_n$ и $z_n$, являются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями. Учитывая формулировку вопроса в единственном числе ("Какая из последовательностей..."), можно предположить наличие опечатки в условии задачи.

Ответ: Бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями являются последовательности 1) $x_n = \frac{1}{3^n}$ и 3) $z_n = \frac{64}{2^n}$.