Номер 3.109, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.109. Обратите число в обыкновенную дробь:

1) $0,9(285714)$;

2) $0,(04109589)$.

1) 0,9(285714)

Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, можно представить её как сумму конечной десятичной дроби и чистой периодической дроби.Обозначим исходное число как $x = 0,9(285714)$.Это число можно записать в виде суммы: $x = 0,9 + 0,0(285714)$.Преобразуем каждое слагаемое в обыкновенную дробь.Первое слагаемое: $0,9 = \frac{9}{10}$.Второе слагаемое: $0,0(285714) = \frac{1}{10} \times 0,(285714)$.Теперь преобразуем чистую периодическую дробь $y = 0,(285714)$. Для этого воспользуемся стандартным методом.Умножим $y$ на $10^6$ (так как в периоде 6 цифр):$1000000y = 285714,(285714)$Вычтем из этого выражения исходное $y = 0,(285714)$:$1000000y - y = 285714,(285714) - 0,(285714)$$999999y = 285714$$y = \frac{285714}{999999}$Эту дробь можно сократить. Заметим, что $1/7 = 0,(142857)$, тогда $2 \times 1/7 = 0,(285714)$. Следовательно, $y = \frac{2}{7}$.Теперь подставим полученные значения обратно в выражение для $x$:$x = \frac{9}{10} + \frac{1}{10} \times y = \frac{9}{10} + \frac{1}{10} \times \frac{2}{7} = \frac{9}{10} + \frac{2}{70}$.Приведем дроби к общему знаменателю 70:$x = \frac{9 \times 7}{70} + \frac{2}{70} = \frac{63}{70} + \frac{2}{70} = \frac{65}{70}$.Сократим полученную дробь на 5:$x = \frac{65 \div 5}{70 \div 5} = \frac{13}{14}$.
Ответ: $\frac{13}{14}$.

2) 0,(04109589)

Обозначим данное число через $x$. Тогда $x = 0,(04109589)$.Это чистая периодическая дробь, в периоде которой 8 цифр. Чтобы преобразовать ее в обыкновенную, умножим $x$ на $10^8$:$100000000x = 4109589,(04109589)$.Теперь вычтем из этого уравнения исходное ($x = 0,(04109589)$):$100000000x - x = 4109589,(04109589) - 0,(04109589)$$99999999x = 4109589$.Отсюда $x = \frac{4109589}{99999999}$.Теперь необходимо сократить эту дробь.Найдем общие делители числителя и знаменателя.Сумма цифр числителя: $4+1+0+9+5+8+9=36$. Число 36 делится на 9, значит и числитель делится на 9.Сумма цифр знаменателя: $9 \times 8=72$. Число 72 делится на 9, значит и знаменатель делится на 9.Сократим дробь на 9:$x = \frac{4109589 \div 9}{99999999 \div 9} = \frac{456621}{11111111}$.Для дальнейшего сокращения разложим знаменатель на простые множители:$11111111 = 1111 \times 10001 = (11 \times 101) \times (73 \times 137)$.Проверим делимость числителя $456621$ на эти множители.Проверка делимости на 11 (чередующееся сложение и вычитание цифр): $1-2+6-6+5-4=0$. Числитель делится на 11.$456621 \div 11 = 41511$.Проверка делимости $41511$ на 101:$41511 \div 101 = 411$.Проверка делимости $411$ на 137:$411 \div 137 = 3$.Таким образом, числитель можно разложить на множители: $456621 = 3 \times 11 \times 101 \times 137$.Подставим разложения в дробь:$x = \frac{3 \times 11 \times 101 \times 137}{11 \times 101 \times 73 \times 137}$.Сокращая общие множители $(11, 101, 137)$, получаем:$x = \frac{3}{73}$.
Ответ: $\frac{3}{73}$.