Номер 3.115, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.115. Решите уравнение:

1) $x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=\frac{3}{7}$;

2) $x-x^2+x^3-\ldots+(-1)^{n-1}+x^n+\ldots=-4.$

1) Левая часть уравнения $x+x^2+x^3+\dots+x^n+\dots = \frac{3}{7}$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$, а ее знаменатель $q = \frac{x^2}{x} = x$. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ при условии, что модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$, что в данном случае означает $|x| < 1$.
Используя формулу суммы, приравняем ее к значению из условия задачи:
$\frac{x}{1-x} = \frac{3}{7}$
Теперь решим полученное уравнение:
$7x = 3(1-x)$
$7x = 3 - 3x$
$10x = 3$
$x = \frac{3}{10}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию сходимости прогрессии $|x| < 1$:
$|\frac{3}{10}| = \frac{3}{10}$, и $\frac{3}{10} < 1$.
Условие выполняется, следовательно, найденный корень является решением уравнения.
Ответ: $x = \frac{3}{10}$.

2) Левая часть уравнения $x-x^2+x^3-\dots+(-1)^{n-1}x^n+\dots = -4$ также является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$, а ее знаменатель равен $q = \frac{-x^2}{x} = -x$. Сумма данной прогрессии существует при условии $|q| < 1$, то есть $|-x| < 1$, что эквивалентно $|x| < 1$.
Применим формулу суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$ к левой части уравнения:
$\frac{x}{1-(-x)} = -4$
$\frac{x}{1+x} = -4$
Решим это уравнение относительно $x$:
$x = -4(1+x)$
$x = -4 - 4x$
$x + 4x = -4$
$5x = -4$
$x = -\frac{4}{5}$
Проверим выполнение условия сходимости $|x| < 1$:
$|-\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}$, и $\frac{4}{5} < 1$.
Условие выполняется, значит, найденное значение $x$ является решением уравнения.
Ответ: $x = -\frac{4}{5}$.