Номер 3.108, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.108. Обратите число в обыкновенную дробь:

1) $0,2(3)$;

2) $1,(81)$;

3) $0,32(45)$;

4) $1,6(3201)$.

1) 0,2(3)

Для преобразования смешанной периодической дроби в обыкновенную, обозначим ее как $x$.

$x = 0,2(3) = 0,2333...$

Умножим уравнение на 10, чтобы сдвинуть непериодическую часть влево от запятой:

$10x = 2,333...$

Умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть и первую цифру периода влево от запятой:

$100x = 23,333...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы устранить бесконечную дробную часть:

$100x - 10x = 23,333... - 2,333...$

$90x = 21$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{21}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{7}{30}$

Ответ: $\frac{7}{30}$

2) 1,(81)

Обозначим число как $x$.

$x = 1,(81) = 1,818181...$

В данном случае целая часть равна 1, а дробная часть является чистой периодической дробью с периодом 81 (две цифры). Умножим уравнение на 100:

$100x = 181,818181...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$100x - x = 181,818181... - 1,818181...$

$99x = 180$

Найдем $x$:

$x = \frac{180}{99}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 9:

$x = \frac{180 \div 9}{99 \div 9} = \frac{20}{11}$

Ответ: $\frac{20}{11}$

3) 0,32(45)

Обозначим число как $x$.

$x = 0,32(45) = 0,32454545...$

Непериодическая часть (32) состоит из двух цифр. Умножим уравнение на 100:

$100x = 32,454545...$

Периодическая часть (45) также состоит из двух цифр. Умножим исходное уравнение на $100 \times 100 = 10000$:

$10000x = 3245,454545...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10000x - 100x = 3245,454545... - 32,454545...$

$9900x = 3213$

Выразим $x$:

$x = \frac{3213}{9900}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя ($3+2+1+3=9$) и знаменателя ($9+9+0+0=18$) делится на 9. Разделим числитель и знаменатель на 9:

$x = \frac{3213 \div 9}{9900 \div 9} = \frac{357}{1100}$

Дробь $\frac{357}{1100}$ является несократимой, так как числитель 357 не имеет общих делителей со знаменателем $1100 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 11$.

Ответ: $\frac{357}{1100}$

4) 1,6(3201)

Обозначим число как $x$.

$x = 1,6(3201) = 1,632013201...$

Непериодическая часть после запятой (6) состоит из одной цифры. Умножим уравнение на 10:

$10x = 16,32013201...$

Период (3201) состоит из четырех цифр. Умножим исходное уравнение на $10 \times 10000 = 100000$:

$100000x = 163201,32013201...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100000x - 10x = 163201,3201... - 16,3201...$

$99990x = 163185$

Найдем $x$:

$x = \frac{163185}{99990}$

Сократим дробь. Оба числа заканчиваются на 5 и 0, значит, делятся на 5.

$x = \frac{163185 \div 5}{99990 \div 5} = \frac{32637}{19998}$

Сумма цифр числителя ($3+2+6+3+7=21$) делится на 3. Сумма цифр знаменателя ($1+9+9+9+8=36$) делится на 9. Сократим на 3:

$x = \frac{32637 \div 3}{19998 \div 3} = \frac{10879}{6666}$

Проверим делимость на 11. Для числителя: $1-0+8-7+9 = 11$. Для знаменателя: $6-6+6-6=0$. Оба делятся на 11:

$x = \frac{10879 \div 11}{6666 \div 11} = \frac{989}{606}$

Эта дробь несократима, так как $989 = 23 \cdot 43$, а $606 = 2 \cdot 3 \cdot 101$, и у них нет общих простых множителей.

Ответ: $\frac{989}{606}$