Номер 3.107, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.107. Обратите число в обыкновенную дробь:

1) $1.21\overline{32}$;

2) $0.27\overline{345}$;

3) $-2.3\overline{9}$;

4) $0.\overline{1}$;

5) $0.\overline{6}$;

6) $0.\overline{36}$.

1) 1,21(32)

Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, нужно из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем; в знаменателе же написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр стоит между запятой и периодом. Целую часть оставляем без изменений.

Пусть $x = 1,21(32)$. Запишем число как $1 + 0,21(32)$.

Рассмотрим дробную часть $y = 0,21(32) = 0,213232...$

Следуя правилу, числитель будет равен $2132 - 21 = 2111$.

В периоде (32) две цифры, между запятой и периодом (21) тоже две цифры. Значит, знаменатель будет $9900$.

Получаем $y = \frac{2111}{9900}$.

Теперь добавим целую часть: $x = 1 + \frac{2111}{9900} = \frac{9900}{9900} + \frac{2111}{9900} = \frac{9900+2111}{9900} = \frac{12011}{9900}$.

Альтернативный метод (через уравнения):

Пусть $x = 1,213232...$

Умножим на $100$, чтобы сдвинуть непериодическую часть влево от запятой: $100x = 121,3232...$

Умножим на $10000$, чтобы сдвинуть один период влево от запятой: $10000x = 12132,3232...$

Вычтем первое из второго: $10000x - 100x = 12132,3232... - 121,3232...$

$9900x = 12011$

$x = \frac{12011}{9900}$

Ответ: $\frac{12011}{9900}$

2) 0,27(345)

Пусть $x = 0,27(345) = 0,27345345...$

Умножим на $100$: $100x = 27,345345...$

Умножим на $100000$ (сдвиг на 2+3=5 знаков): $100000x = 27345,345345...$

Вычтем: $100000x - 100x = 27345,345... - 27,345...$

$99900x = 27318$

$x = \frac{27318}{99900}$

Сократим дробь. Оба числа делятся на 6.

$27318 \div 6 = 4553$

$99900 \div 6 = 16650$

$x = \frac{4553}{16650}$

Ответ: $\frac{4553}{16650}$

3) -2,3(9)

Рассмотрим положительное число $x = 2,3(9) = 2,3999...$

Такие дроби с периодом 9 являются другим представлением конечных десятичных дробей. Интуитивно понятно, что $2,3999...$ стремится к $2,4$. Докажем это.

Пусть $x = 2,3999...$

Умножим на $10$: $10x = 23,999...$

Умножим на $100$: $100x = 239,999...$

Вычтем: $100x - 10x = 239,999... - 23,999...$

$90x = 216$

$x = \frac{216}{90}$

Сократим дробь на 18: $x = \frac{12}{5}$.

Так как исходное число отрицательное, получаем $-\frac{12}{5}$.

Ответ: $-\frac{12}{5}$

4) 0,(1)

Пусть $x = 0,(1) = 0,111...$

Это чистая периодическая дробь. В периоде одна цифра, умножаем на $10$.

$10x = 1,111...$

Вычтем $x$ из $10x$: $10x - x = 1,111... - 0,111...$

$9x = 1$

$x = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

5) 0,(6)

Пусть $x = 0,(6) = 0,666...$

Умножаем на $10$: $10x = 6,666...$

Вычитаем: $10x - x = 6,666... - 0,666...$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9}$

Сокращаем на 3: $x = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

6) 0,(36)

Пусть $x = 0,(36) = 0,363636...$

Это чистая периодическая дробь. В периоде две цифры (36), поэтому умножаем на $100$.

$100x = 36,363636...$

Вычитаем: $100x - x = 36,3636... - 0,3636...$

$99x = 36$

$x = \frac{36}{99}$

Сокращаем на 9: $x = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$