Номер 3.113, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.113. Приведите пример последовательности:

1) рациональных чисел, пределом которой является иррациональное число;

2) иррациональных чисел, пределом которой является рациональное число.

1) рациональных чисел, пределом которой является иррациональное число

Для построения такой последовательности можно использовать десятичное разложение какого-либо иррационального числа, например, числа $\pi$. Число $\pi$ является иррациональным, и его десятичное представление бесконечно и непериодично: $\pi \approx 3,14159265...$

Рассмотрим последовательность $\{x_n\}$, члены которой являются конечными десятичными дробями, получаемыми последовательным усечением десятичного разложения числа $\pi$. Первые члены последовательности: $x_1 = 3$; $x_2 = 3,1$; $x_3 = 3,14$; $x_4 = 3,141$; и так далее. Общий член последовательности можно записать формулой $x_n = \frac{\lfloor 10^{n-1} \pi \rfloor}{10^{n-1}}$.

Каждый член этой последовательности $x_n$ является конечной десятичной дробью, а любая конечная десятичная дробь — это рациональное число. Например, $x_3 = 3,14 = \frac{314}{100}$. Таким образом, все члены последовательности $\{x_n\}$ — рациональные числа.

По построению, члены последовательности стремятся к числу $\pi$ при неограниченном увеличении номера $n$. Предел этой последовательности равен $\pi$:$ \lim_{n \to \infty} x_n = \pi $.

Таким образом, мы получили последовательность рациональных чисел, пределом которой является иррациональное число $\pi$.

Ответ: Последовательность конечных десятичных приближений числа $\pi$: $3; 3,1; 3,14; 3,141; \dots$.

2) иррациональных чисел, пределом которой является рациональное число

Для построения такой последовательности можно взять известное иррациональное число, например $\sqrt{2}$, и составить последовательность, члены которой стремятся к какому-либо рациональному числу, например, к нулю.

Рассмотрим последовательность $\{y_n\}$, заданную формулой $ y_n = \frac{\sqrt{2}}{n} $ для $n = 1, 2, 3, \dots$. Первые члены этой последовательности: $\sqrt{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{3}; \dots$.

Поскольку $\sqrt{2}$ — иррациональное число, а $n$ — натуральное (и, следовательно, рациональное) число, то частное от деления иррационального числа на ненулевое рациональное также является иррациональным числом. Следовательно, каждый член последовательности $\{y_n\}$ является иррациональным числом.

Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$:

$ \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2}}{n} = 0 $.

Предел последовательности равен 0, а 0 — это рациональное число (так как $0 = \frac{0}{1}$).

Таким образом, мы получили последовательность иррациональных чисел, пределом которой является рациональное число 0.

Ответ: Последовательность с общим членом $y_n = \frac{\sqrt{2}}{n}$.