Номер 3.116, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.116. Может ли сумма ряда $a-a^2+a^3-a^4+\ldots+(-1)^{n-1}a^n+\ldots$ при некоторых значениях $a$ быть равной:

1) 0,25;

2) -0,6;

3) 0,5?

Данный ряд $a - a^2 + a^3 - a^4 + \dots + (-1)^{n-1}a^n + \dots$ представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $b_1 = a$, а знаменатель $q = \frac{-a^2}{a} = -a$.

Сумма $S$ бесконечной геометрической прогрессии существует (то есть ряд сходится) только при условии, что модуль ее знаменателя меньше единицы: $|q| < 1$. В данном случае это условие принимает вид $|-a| < 1$, что равносильно $|a| < 1$.

Если ряд сходится, его сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив значения для нашего ряда, получаем формулу для суммы: $S = \frac{a}{1 - (-a)} = \frac{a}{1+a}$.

Для ответа на вопрос задачи необходимо для каждого предложенного значения суммы $S$ найти соответствующее значение $a$ и проверить, удовлетворяет ли оно условию сходимости $|a| < 1$.

1) 0,25

Предположим, что сумма ряда равна 0,25. Составим и решим уравнение:

$\frac{a}{1+a} = 0,25$

$a = 0,25(1+a)$

$a = 0,25 + 0,25a$

$a - 0,25a = 0,25$

$0,75a = 0,25$

$a = \frac{0,25}{0,75} = \frac{1}{3}$

Теперь проверим выполнение условия сходимости: $|a| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$. Поскольку $\frac{1}{3} < 1$, условие выполняется.

Ответ: да, может, при $a = \frac{1}{3}$.

2) -0,6

Предположим, что сумма ряда равна -0,6. Составим и решим уравнение:

$\frac{a}{1+a} = -0,6$

$a = -0,6(1+a)$

$a = -0,6 - 0,6a$

$a + 0,6a = -0,6$

$1,6a = -0,6$

$a = \frac{-0,6}{1,6} = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8}$

Проверим выполнение условия сходимости: $|a| = |-\frac{3}{8}| = \frac{3}{8}$. Поскольку $\frac{3}{8} < 1$, условие выполняется.

Ответ: да, может, при $a = -\frac{3}{8}$.

3) 0,5

Предположим, что сумма ряда равна 0,5. Составим и решим уравнение:

$\frac{a}{1+a} = 0,5$

$a = 0,5(1+a)$

$a = 0,5 + 0,5a$

$a - 0,5a = 0,5$

$0,5a = 0,5$

$a = 1$

Проверим выполнение условия сходимости: $|a| = |1| = 1$. Условие $|a| < 1$ не выполняется, так как $1$ не является строго меньше $1$. При $a=1$ ряд имеет вид $1-1+1-1+\dots$ и является расходящимся, то есть его сумма не существует в обычном смысле.

Ответ: нет, не может.