Номер 3.112, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.112. При каких значениях x ряд имеет конечную сумму:

1) $1+x^4+x^8+...+x^{4(n-1)}+...$;

2) $1-x^3+x^6-...+(-1)^{(n-1)}x^{3(n-1)}+...$;

3) $\frac{1-x}{x}+\frac{(1-x)^2}{x^2}+...+\left(\frac{1-x}{x}\right)^n+...$?

Для того чтобы ряд имел конечную сумму, он должен быть сходящимся. Все представленные ряды являются бесконечными геометрическими прогрессиями. Бесконечная геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда модуль её знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

1) $1 + x^4 + x^8 + \dots + x^{4(n-1)} + \dots$

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией.Первый член прогрессии $b_1 = 1$.Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, разделив второй член на первый: $q = \frac{x^4}{1} = x^4$.Условие сходимости ряда: $|q| < 1$.В данном случае, $|x^4| < 1$.Поскольку $x^4$ всегда является неотрицательной величиной ($x^4 \ge 0$), это неравенство эквивалентно неравенству $x^4 < 1$.Решим его:$x^4 - 1 < 0$$(x^2 - 1)(x^2 + 1) < 0$Так как множитель $x^2 + 1$ всегда положителен при любых действительных значениях $x$, то неравенство сводится к:$x^2 - 1 < 0$$x^2 < 1$$|x| < 1$Это означает, что $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

2) $1 - x^3 + x^6 - \dots + (-1)^{n-1}x^{3(n-1)} + \dots$

Этот ряд также является бесконечной геометрической прогрессией.Первый член прогрессии $b_1 = 1$.Знаменатель прогрессии $q = \frac{-x^3}{1} = -x^3$.Условие сходимости: $|q| < 1$.Подставляем значение знаменателя: $|-x^3| < 1$.Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:$|x^3| < 1$$|x|^3 < 1$Извлекая кубический корень из обеих частей неравенства, получаем:$|x| < 1$Что соответствует интервалу $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

3) $\frac{1-x}{x} + \frac{(1-x)^2}{x^2} + \dots + \left(\frac{1-x}{x}\right)^n + \dots$

Этот ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию.Прежде всего, отметим, что для того, чтобы члены ряда были определены, необходимо, чтобы знаменатель $x$ не был равен нулю, то есть $x \neq 0$.Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1-x}{x}$.Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{(1-x)^2/x^2}{(1-x)/x} = \frac{1-x}{x}$.Условие сходимости: $|q| < 1$.Применяем это условие к нашему знаменателю:$\left|\frac{1-x}{x}\right| < 1$Это двойное неравенство:$-1 < \frac{1-x}{x} < 1$Разобьем его на систему из двух неравенств:1) $\frac{1-x}{x} < 1$2) $\frac{1-x}{x} > -1$Решим первое неравенство:$\frac{1-x}{x} - 1 < 0$$\frac{1-x-x}{x} < 0$$\frac{1-2x}{x} < 0$Методом интервалов находим, что решение этого неравенства есть $x \in (-\infty, 0) \cup (1/2, +\infty)$.Решим второе неравенство:$\frac{1-x}{x} + 1 > 0$$\frac{1-x+x}{x} > 0$$\frac{1}{x} > 0$Это неравенство справедливо при $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.Для сходимости ряда необходимо, чтобы выполнялись оба неравенства одновременно. Найдем пересечение множеств их решений:$\left((-\infty, 0) \cup (1/2, +\infty)\right) \cap (0, +\infty)$.Пересечение дает интервал $(1/2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1/2, +\infty)$.