Номер 3.110, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.110. Будет ли геометрическая прогрессия ${$a_n$}$ бесконечно убывающей, если:

1) $a_1=1, a_2=\frac{1}{2}$;

2) $a_1=3, a_2=-1$;

3) $a_2=1, a_3=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$;

4) $a_1=\sqrt{2}, a_2-a_1=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$;

5) $a_1=\frac{1}{\sqrt{3}}, a_3=\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}, a_2>0$;

6) $\begin{cases} a_1+a_4=\frac{7}{16},\\ a_1-a_2+a_3=\frac{7}{8}? \end{cases}$

Геометрическая прогрессия $\{a_n\}$ называется бесконечно убывающей, если ее знаменатель $q$ по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

1) Дано $a_1=1$ и $a_2=\frac{1}{2}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$ по формуле $q = \frac{a_2}{a_1}$.
$q = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
Так как $\frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, будет.

2) Дано $a_1=3$ и $a_2=-1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.
Так как $\frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, будет.

3) Дано $a_2=1$ и $a_3=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q = \frac{a_3}{a_2}$:
$q = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}{1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{3}-1$:
$q = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
Так как $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$, то $2-1.8 < 2-\sqrt{3} < 2-1.7$, что дает $0.2 < 2-\sqrt{3} < 0.3$.
Значит, $0 < 2-\sqrt{3} < 1$, и $|q| = |2-\sqrt{3}| < 1$. Прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, будет.

4) Дано $a_1=\sqrt{2}$ и $a_2 - a_1 = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку $a_2 = a_1q$, мы можем переписать второе условие:
$a_1q - a_1 = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$
$a_1(q-1) = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.
Подставим $a_1 = \sqrt{2}$:
$\sqrt{2}(q-1) = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$
$q-1 = \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.
$q = 1 + \frac{\sqrt{2}-1}{2} = \frac{2+\sqrt{2}-1}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $q \approx \frac{1+1.414}{2} = \frac{2.414}{2} = 1.207$.
$|q| > 1$, следовательно, прогрессия не является бесконечно убывающей.
Ответ: Нет, не будет.

5) Дано $a_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$, $a_3=\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$ и $a_2>0$.
Используем формулу $a_3 = a_1 q^2$:
$q^2 = \frac{a_3}{a_1} = \frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \frac{2-\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда $q = \pm\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}$.
Можно упростить выражение $\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
Итак, $q = \pm\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
По условию $a_2 > 0$. Так как $a_2 = a_1 q$ и $a_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$, то и $q$ должен быть положительным. Следовательно, $q = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
$|q|=|\frac{\sqrt{3}-1}{2}| = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $0 < \sqrt{3}-1 < 1$, и $0 < \frac{\sqrt{3}-1}{2} < \frac{1}{2}$.
Условие $|q| < 1$ выполняется, значит, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, будет.

6) Дана система уравнений: $\begin{cases} a_1+a_4=\frac{7}{16} \\ a_1-a_2+a_3=\frac{7}{8} \end{cases}$.
Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $q$:
$\begin{cases} a_1+a_1q^3=\frac{7}{16} \\ a_1-a_1q+a_1q^2=\frac{7}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} a_1(1+q^3)=\frac{7}{16} \\ a_1(1-q+q^2)=\frac{7}{8} \end{cases}$.
Разделим первое уравнение на второе (при $a_1 \ne 0$ и $1-q+q^2 \ne 0$):
$\frac{a_1(1+q^3)}{a_1(1-q+q^2)} = \frac{7/16}{7/8} = \frac{7}{16} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{2}$.
Используя формулу суммы кубов $1+q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$, получаем:
$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{1-q+q^2} = \frac{1}{2}$.
Поскольку выражение $1-q+q^2$ всегда положительно для любого действительного $q$, его можно сократить:
$1+q = \frac{1}{2}$
$q = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
Так как $\frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, будет.