Номер 3.118, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.118. Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равен 4, а разность третьего и пятого членов равна $ \frac{32}{81} $. Найдите сумму этой прогрессии.

Пусть $b_1$ – первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ – ее знаменатель.

По условию задачи, все члены прогрессии положительны ($b_n > 0$) и прогрессия является бесконечно убывающей. Из этих условий следует, что первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q$ находится в интервале $0 < q < 1$.

Дано, что первый член $b_1 = 4$, а разность третьего и пятого членов равна $b_3 - b_5 = \frac{32}{81}$.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, чтобы выразить $b_3$ и $b_5$:

$b_3 = b_1 q^{3-1} = b_1 q^2 = 4q^2$

$b_5 = b_1 q^{5-1} = b_1 q^4 = 4q^4$

Подставим эти выражения в заданное равенство о разности членов:

$4q^2 - 4q^4 = \frac{32}{81}$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$q^2 - q^4 = \frac{8}{81}$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной $x = q^2$. Так как $0 < q < 1$, то $0 < q^2 < 1$, следовательно $0 < x < 1$. Уравнение принимает вид:

$x - x^2 = \frac{8}{81}$

Приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - x + \frac{8}{81} = 0$

Умножим все члены уравнения на 81, чтобы избавиться от дроби:

$81x^2 - 81x + 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-81)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 8 = 81 \cdot (81 - 32) = 81 \cdot 49$

Корень из дискриминанта равен $\sqrt{\Delta} = \sqrt{81 \cdot 49} = 9 \cdot 7 = 63$.

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-(-81) + 63}{2 \cdot 81} = \frac{144}{162} = \frac{8}{9}$

$x_2 = \frac{-(-81) - 63}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}$

Оба найденных значения для $x$ удовлетворяют условию $0 < x < 1$. Теперь выполним обратную замену $q = \sqrt{x}$ (мы берем только положительный корень, так как $q>0$):

1. $q^2 = \frac{8}{9} \implies q_1 = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

2. $q^2 = \frac{1}{9} \implies q_2 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Оба значения знаменателя $q_1$ и $q_2$ удовлетворяют условию $0 < q < 1$. Это означает, что существуют две разные прогрессии, которые соответствуют условиям задачи. Следовательно, мы найдем две возможные суммы.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Случай 1: $q = \frac{1}{3}$

Сумма прогрессии равна:

$S_1 = \frac{4}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Случай 2: $q = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Сумма прогрессии равна:

$S_2 = \frac{4}{1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{4}{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}} = \frac{12}{3 - 2\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 + 2\sqrt{2})$:

$S_2 = \frac{12(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{12(3 + 2\sqrt{2})}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{12(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 8} = 12(3 + 2\sqrt{2}) = 36 + 24\sqrt{2}$

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: $6$ или $36 + 24\sqrt{2}$.