Страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.113. Приведите пример последовательности:

1) рациональных чисел, пределом которой является иррациональное число;

2) иррациональных чисел, пределом которой является рациональное число.

1) рациональных чисел, пределом которой является иррациональное число

Для построения такой последовательности можно использовать десятичное разложение какого-либо иррационального числа, например, числа $\pi$. Число $\pi$ является иррациональным, и его десятичное представление бесконечно и непериодично: $\pi \approx 3,14159265...$

Рассмотрим последовательность $\{x_n\}$, члены которой являются конечными десятичными дробями, получаемыми последовательным усечением десятичного разложения числа $\pi$. Первые члены последовательности: $x_1 = 3$; $x_2 = 3,1$; $x_3 = 3,14$; $x_4 = 3,141$; и так далее. Общий член последовательности можно записать формулой $x_n = \frac{\lfloor 10^{n-1} \pi \rfloor}{10^{n-1}}$.

Каждый член этой последовательности $x_n$ является конечной десятичной дробью, а любая конечная десятичная дробь — это рациональное число. Например, $x_3 = 3,14 = \frac{314}{100}$. Таким образом, все члены последовательности $\{x_n\}$ — рациональные числа.

По построению, члены последовательности стремятся к числу $\pi$ при неограниченном увеличении номера $n$. Предел этой последовательности равен $\pi$:$ \lim_{n \to \infty} x_n = \pi $.

Таким образом, мы получили последовательность рациональных чисел, пределом которой является иррациональное число $\pi$.

Ответ: Последовательность конечных десятичных приближений числа $\pi$: $3; 3,1; 3,14; 3,141; \dots$.

2) иррациональных чисел, пределом которой является рациональное число

Для построения такой последовательности можно взять известное иррациональное число, например $\sqrt{2}$, и составить последовательность, члены которой стремятся к какому-либо рациональному числу, например, к нулю.

Рассмотрим последовательность $\{y_n\}$, заданную формулой $ y_n = \frac{\sqrt{2}}{n} $ для $n = 1, 2, 3, \dots$. Первые члены этой последовательности: $\sqrt{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{3}; \dots$.

Поскольку $\sqrt{2}$ — иррациональное число, а $n$ — натуральное (и, следовательно, рациональное) число, то частное от деления иррационального числа на ненулевое рациональное также является иррациональным числом. Следовательно, каждый член последовательности $\{y_n\}$ является иррациональным числом.

Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$:

$ \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2}}{n} = 0 $.

Предел последовательности равен 0, а 0 — это рациональное число (так как $0 = \frac{0}{1}$).

Таким образом, мы получили последовательность иррациональных чисел, пределом которой является рациональное число 0.

Ответ: Последовательность с общим членом $y_n = \frac{\sqrt{2}}{n}$.

3.114. Докажите, что последовательность $x_n = \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n \text{ корней}}$

сходится, и найдите ее предел.

Для решения задачи мы сначала докажем, что последовательность сходится, используя теорему Вейерштрасса о монотонной и ограниченной последовательности, а затем найдем ее предел.

Запишем последовательность в рекуррентной форме:
$x_1 = \sqrt{2}$
$x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$ для $n \ge 1$.

Доказательство сходимости

1. Монотонность. Докажем, что последовательность является строго возрастающей, то есть $x_{n+1} > x_n$ для всех $n \ge 1$. Воспользуемся методом математической индукции.
База индукции (n=1):
$x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$. Сравним квадраты этих чисел: $x_1^2 = 2$ и $x_2^2 = 2 + \sqrt{2}$. Очевидно, что $2 + \sqrt{2} > 2$, поэтому $x_2^2 > x_1^2$. Так как $x_1$ и $x_2$ положительны, отсюда следует, что $x_2 > x_1$. База индукции верна.
Шаг индукции:
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выполняется неравенство $x_k > x_{k-1}$. Докажем, что из этого следует $x_{k+1} > x_k$.
Исходя из предположения $x_k > x_{k-1}$, прибавим 2 к обеим частям: $2 + x_k > 2 + x_{k-1}$.
Функция $f(y) = \sqrt{y}$ является возрастающей для всех $y > 0$, поэтому мы можем извлечь корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак: $\sqrt{2 + x_k} > \sqrt{2 + x_{k-1}}$.
По определению рекуррентной последовательности, это означает, что $x_{k+1} > x_k$.
Таким образом, по принципу математической индукции, последовательность $\{x_n\}$ является монотонно возрастающей.

2. Ограниченность. Докажем, что последовательность ограничена сверху, например, числом 2, то есть $x_n < 2$ для всех $n \ge 1$. Снова применим метод математической индукции.
База индукции (n=1):
$x_1 = \sqrt{2}$. Так как $2 < 4$, то $\sqrt{2} < \sqrt{4} = 2$. Неравенство $x_1 < 2$ верно.
Шаг индукции:
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выполняется неравенство $x_k < 2$. Докажем, что $x_{k+1} < 2$.
Из предположения $x_k < 2$ следует, что $2 + x_k < 2 + 2 = 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $\sqrt{2 + x_k} < \sqrt{4}$, что по определению означает $x_{k+1} < 2$.
Таким образом, по принципу математической индукции, последовательность $\{x_n\}$ ограничена сверху числом 2.

Поскольку последовательность $\{x_n\}$ является монотонно возрастающей и ограниченной сверху, по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел. Таким образом, сходимость доказана.

Нахождение предела

Пусть $L = \lim_{n \to \infty} x_n$. Поскольку предел существует, мы можем найти его, совершив предельный переход в рекуррентном соотношении $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$.
$\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 + x_n}$
Так как $\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_n = L$ и функция квадратного корня непрерывна, мы получаем уравнение относительно $L$:
$L = \sqrt{2 + L}$
Все члены последовательности $x_n$ положительны, поэтому их предел $L$ не может быть отрицательным ($L \ge 0$). Это позволяет нам возвести обе части уравнения в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней:
$L^2 = 2 + L$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$L^2 - L - 2 = 0$
Решим это уравнение. Его корни можно найти, разложив левую часть на множители:
$(L - 2)(L + 1) = 0$
Корни уравнения: $L_1 = 2$ и $L_2 = -1$.
Так как мы установили, что предел должен быть неотрицательным ($L \ge 0$), корень $L_2 = -1$ является посторонним. Следовательно, единственным решением является $L = 2$.

Ответ: последовательность сходится, и ее предел равен 2.

3.115. Решите уравнение:

1) $x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=\frac{3}{7}$;

2) $x-x^2+x^3-\ldots+(-1)^{n-1}+x^n+\ldots=-4.$

1) Левая часть уравнения $x+x^2+x^3+\dots+x^n+\dots = \frac{3}{7}$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$, а ее знаменатель $q = \frac{x^2}{x} = x$. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ при условии, что модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$, что в данном случае означает $|x| < 1$.
Используя формулу суммы, приравняем ее к значению из условия задачи:
$\frac{x}{1-x} = \frac{3}{7}$
Теперь решим полученное уравнение:
$7x = 3(1-x)$
$7x = 3 - 3x$
$10x = 3$
$x = \frac{3}{10}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию сходимости прогрессии $|x| < 1$:
$|\frac{3}{10}| = \frac{3}{10}$, и $\frac{3}{10} < 1$.
Условие выполняется, следовательно, найденный корень является решением уравнения.
Ответ: $x = \frac{3}{10}$.

2) Левая часть уравнения $x-x^2+x^3-\dots+(-1)^{n-1}x^n+\dots = -4$ также является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$, а ее знаменатель равен $q = \frac{-x^2}{x} = -x$. Сумма данной прогрессии существует при условии $|q| < 1$, то есть $|-x| < 1$, что эквивалентно $|x| < 1$.
Применим формулу суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$ к левой части уравнения:
$\frac{x}{1-(-x)} = -4$
$\frac{x}{1+x} = -4$
Решим это уравнение относительно $x$:
$x = -4(1+x)$
$x = -4 - 4x$
$x + 4x = -4$
$5x = -4$
$x = -\frac{4}{5}$
Проверим выполнение условия сходимости $|x| < 1$:
$|-\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}$, и $\frac{4}{5} < 1$.
Условие выполняется, значит, найденное значение $x$ является решением уравнения.
Ответ: $x = -\frac{4}{5}$.

3.116. Может ли сумма ряда $a-a^2+a^3-a^4+\ldots+(-1)^{n-1}a^n+\ldots$ при некоторых значениях $a$ быть равной:

1) 0,25;

2) -0,6;

3) 0,5?

Данный ряд $a - a^2 + a^3 - a^4 + \dots + (-1)^{n-1}a^n + \dots$ представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $b_1 = a$, а знаменатель $q = \frac{-a^2}{a} = -a$.

Сумма $S$ бесконечной геометрической прогрессии существует (то есть ряд сходится) только при условии, что модуль ее знаменателя меньше единицы: $|q| < 1$. В данном случае это условие принимает вид $|-a| < 1$, что равносильно $|a| < 1$.

Если ряд сходится, его сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив значения для нашего ряда, получаем формулу для суммы: $S = \frac{a}{1 - (-a)} = \frac{a}{1+a}$.

Для ответа на вопрос задачи необходимо для каждого предложенного значения суммы $S$ найти соответствующее значение $a$ и проверить, удовлетворяет ли оно условию сходимости $|a| < 1$.

1) 0,25

Предположим, что сумма ряда равна 0,25. Составим и решим уравнение:

$\frac{a}{1+a} = 0,25$

$a = 0,25(1+a)$

$a = 0,25 + 0,25a$

$a - 0,25a = 0,25$

$0,75a = 0,25$

$a = \frac{0,25}{0,75} = \frac{1}{3}$

Теперь проверим выполнение условия сходимости: $|a| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$. Поскольку $\frac{1}{3} < 1$, условие выполняется.

Ответ: да, может, при $a = \frac{1}{3}$.

2) -0,6

Предположим, что сумма ряда равна -0,6. Составим и решим уравнение:

$\frac{a}{1+a} = -0,6$

$a = -0,6(1+a)$

$a = -0,6 - 0,6a$

$a + 0,6a = -0,6$

$1,6a = -0,6$

$a = \frac{-0,6}{1,6} = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8}$

Проверим выполнение условия сходимости: $|a| = |-\frac{3}{8}| = \frac{3}{8}$. Поскольку $\frac{3}{8} < 1$, условие выполняется.

Ответ: да, может, при $a = -\frac{3}{8}$.

3) 0,5

Предположим, что сумма ряда равна 0,5. Составим и решим уравнение:

$\frac{a}{1+a} = 0,5$

$a = 0,5(1+a)$

$a = 0,5 + 0,5a$

$a - 0,5a = 0,5$

$0,5a = 0,5$

$a = 1$

Проверим выполнение условия сходимости: $|a| = |1| = 1$. Условие $|a| < 1$ не выполняется, так как $1$ не является строго меньше $1$. При $a=1$ ряд имеет вид $1-1+1-1+\dots$ и является расходящимся, то есть его сумма не существует в обычном смысле.

Ответ: нет, не может.

3.117. Найдите сумму $(4\sqrt{3}+8)\left(\sqrt{3}(\sqrt{3}-2) + \frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} + \dots\right)$

Для нахождения значения данного выражения, сперва проанализируем выражение в больших скобках. Оно представляет собой сумму членов бесконечной последовательности:

$ \sqrt{3}(\sqrt{3} - 2) + \frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} + \dots $

Обозначим члены этой последовательности как $b_1, b_2, b_3, \dots$ и проверим, является ли она геометрической прогрессией.

Первый член прогрессии:

$ b_1 = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 2) = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} $

Второй член:

$ b_2 = \frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $

Третий член:

$ b_3 = \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} $

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{3-2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Теперь проверим, соответствует ли третий член этому знаменателю, т.е. выполняется ли равенство $b_3 = b_2 \cdot q$:

$ b_2 \cdot q = \frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3-2\sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} $

Преобразуем $b_3$ для сравнения:

$ b_3 = \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} $

Так как значения совпали, мы имеем дело с бесконечно убывающей геометрической прогрессией, поскольку ее знаменатель $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Сумма $S$ такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$ S = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}(3 - 2\sqrt{3})}{\sqrt{3}-1} = \frac{3\sqrt{3} - 6}{\sqrt{3}-1} $

Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:

$ S = \frac{(3\sqrt{3} - 6)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 6}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{9 - 3\sqrt{3} - 6}{3-1} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} $

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим найденную сумму $S$:

$ (4\sqrt{3} + 8) \cdot S = (4\sqrt{3} + 8) \cdot \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} $

Вынесем общие множители за скобки для упрощения:

$ 4(\sqrt{3} + 2) \cdot \frac{3(1 - \sqrt{3})}{2} = 2(\sqrt{3} + 2) \cdot 3(1 - \sqrt{3}) = 6(2 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) $

Раскроем скобки в произведении $(2 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})$:

$ (2 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 2\cdot1 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}\cdot1 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 = -1 - \sqrt{3} $

Подставим результат обратно в выражение:

$ 6 \cdot (-1 - \sqrt{3}) = -6 - 6\sqrt{3} $

Ответ: $ -6 - 6\sqrt{3} $

3.118. Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равен 4, а разность третьего и пятого членов равна $ \frac{32}{81} $. Найдите сумму этой прогрессии.

Пусть $b_1$ – первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ – ее знаменатель.

По условию задачи, все члены прогрессии положительны ($b_n > 0$) и прогрессия является бесконечно убывающей. Из этих условий следует, что первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q$ находится в интервале $0 < q < 1$.

Дано, что первый член $b_1 = 4$, а разность третьего и пятого членов равна $b_3 - b_5 = \frac{32}{81}$.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, чтобы выразить $b_3$ и $b_5$:

$b_3 = b_1 q^{3-1} = b_1 q^2 = 4q^2$

$b_5 = b_1 q^{5-1} = b_1 q^4 = 4q^4$

Подставим эти выражения в заданное равенство о разности членов:

$4q^2 - 4q^4 = \frac{32}{81}$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$q^2 - q^4 = \frac{8}{81}$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной $x = q^2$. Так как $0 < q < 1$, то $0 < q^2 < 1$, следовательно $0 < x < 1$. Уравнение принимает вид:

$x - x^2 = \frac{8}{81}$

Приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - x + \frac{8}{81} = 0$

Умножим все члены уравнения на 81, чтобы избавиться от дроби:

$81x^2 - 81x + 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-81)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 8 = 81 \cdot (81 - 32) = 81 \cdot 49$

Корень из дискриминанта равен $\sqrt{\Delta} = \sqrt{81 \cdot 49} = 9 \cdot 7 = 63$.

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-(-81) + 63}{2 \cdot 81} = \frac{144}{162} = \frac{8}{9}$

$x_2 = \frac{-(-81) - 63}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}$

Оба найденных значения для $x$ удовлетворяют условию $0 < x < 1$. Теперь выполним обратную замену $q = \sqrt{x}$ (мы берем только положительный корень, так как $q>0$):

1. $q^2 = \frac{8}{9} \implies q_1 = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

2. $q^2 = \frac{1}{9} \implies q_2 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Оба значения знаменателя $q_1$ и $q_2$ удовлетворяют условию $0 < q < 1$. Это означает, что существуют две разные прогрессии, которые соответствуют условиям задачи. Следовательно, мы найдем две возможные суммы.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Случай 1: $q = \frac{1}{3}$

Сумма прогрессии равна:

$S_1 = \frac{4}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Случай 2: $q = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Сумма прогрессии равна:

$S_2 = \frac{4}{1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{4}{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}} = \frac{12}{3 - 2\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 + 2\sqrt{2})$:

$S_2 = \frac{12(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{12(3 + 2\sqrt{2})}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{12(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 8} = 12(3 + 2\sqrt{2}) = 36 + 24\sqrt{2}$

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: $6$ или $36 + 24\sqrt{2}$.

3.119. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ${a_n}$, если выполняются равенства $a_1 + a_4 = 54$ и $a_2 + a_3 = 36$.

Пусть $a_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, прогрессия является бесконечно убывающей, следовательно, должно выполняться неравенство $|q| < 1$.

Общий член геометрической прогрессии задается формулой $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.Используя эту формулу, перепишем данные в условии равенства:

$a_1 + a_4 = a_1 + a_1 q^3 = a_1(1+q^3) = 54$

$a_2 + a_3 = a_1 q + a_1 q^2 = a_1 q(1+q) = 36$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $q$:

$\begin{cases} a_1(1+q^3) = 54 \\ a_1 q(1+q) = 36 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе, при условии что $a_1 \neq 0$ и $q(1+q) \neq 0$:

$\frac{a_1(1+q^3)}{a_1 q(1+q)} = \frac{54}{36}$

Сократим дробь в правой части: $\frac{54}{36} = \frac{3 \cdot 18}{2 \cdot 18} = \frac{3}{2}$.

Разложим выражение $1+q^3$ по формуле суммы кубов: $1+q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$. Тогда левая часть уравнения примет вид:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1+q)} = \frac{1-q+q^2}{q}$

Теперь решим полученное уравнение:

$\frac{1-q+q^2}{q} = \frac{3}{2}$

$2(1-q+q^2) = 3q$

$2 - 2q + 2q^2 = 3q$

$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$q_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$q_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Поскольку прогрессия является бесконечно убывающей, её знаменатель должен удовлетворять условию $|q| < 1$. Значение $q_1 = 2$ не подходит, так как $|2| > 1$. Значение $q_2 = \frac{1}{2}$ подходит, так как $|\frac{1}{2}| < 1$.

Итак, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя второе уравнение системы: $a_1 q(1+q) = 36$.

$a_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{2}) = 36$

$a_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 36$

$a_1 \cdot \frac{3}{4} = 36$

$a_1 = 36 \cdot \frac{4}{3} = 12 \cdot 4 = 48$

Мы нашли первый член $a_1 = 48$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Теперь можем найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле $S = \frac{a_1}{1-q}$:

$S = \frac{48}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{48}{\frac{1}{2}} = 48 \cdot 2 = 96$

Ответ: $96$.

3.120. Сумма членов с четными номерами бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12, а сумма ее членов с нечетными номерами равна 36. Определите эту прогрессию, т.е. найдите $a_1$ и $q$.

Пусть $a_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для такой прогрессии $|q| < 1$.

Сумма членов с нечетными номерами, обозначим её $S_{нечет}$, представляет собой ряд:$S_{нечет} = a_1 + a_3 + a_5 + \dots = a_1 + a_1q^2 + a_1q^4 + \dots$По условию задачи, $S_{нечет} = 36$.

Сумма членов с четными номерами, обозначим её $S_{чет}$, представляет собой ряд:$S_{чет} = a_2 + a_4 + a_6 + \dots = a_1q + a_1q^3 + a_1q^5 + \dots$По условию задачи, $S_{чет} = 12$.

Можно заметить, что каждый член ряда для $S_{чет}$ получается умножением соответствующего члена ряда для $S_{нечет}$ на знаменатель прогрессии $q$. Вынесем $q$ за скобки в выражении для $S_{чет}$:$S_{чет} = q(a_1 + a_1q^2 + a_1q^4 + \dots)$Выражение в скобках в точности равно $S_{нечет}$. Таким образом, мы получаем простое соотношение между двумя суммами:$S_{чет} = q \cdot S_{нечет}$.

Подставим в это соотношение известные значения $S_{чет} = 12$ и $S_{нечет} = 36$:$12 = q \cdot 36$

Отсюда легко найти знаменатель прогрессии $q$:$q = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.Найденное значение $q = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Ряд для $S_{нечет}$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член равен $a_1$, а знаменатель равен $q^2$. Её сумма вычисляется по формуле:$S_{нечет} = \frac{a_1}{1 - q^2}$.

Подставим известные значения $S_{нечет} = 36$ и $q = \frac{1}{3}$ в эту формулу:$36 = \frac{a_1}{1 - (\frac{1}{3})^2}$

$36 = \frac{a_1}{1 - \frac{1}{9}}$

$36 = \frac{a_1}{\frac{8}{9}}$

Теперь найдем $a_1$:$a_1 = 36 \cdot \frac{8}{9} = \frac{36}{9} \cdot 8 = 4 \cdot 8 = 32$.

Итак, искомая прогрессия определена: её первый член $a_1 = 32$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: $a_1 = 32$, $q = \frac{1}{3}$.

3.121. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 56, а сумма квадратов ее членов равна 448. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, для такой прогрессии должно выполняться неравенство $|q| < 1$.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1 - q}$Согласно условию задачи, сумма прогрессии равна 56, следовательно, мы можем составить первое уравнение:$\frac{b_1}{1 - q} = 56$

Далее рассмотрим последовательность, которая состоит из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2$, $(b_1q)^2$, $(b_1q^2)^2$, ... , что можно записать как $b_1^2$, $b_1^2q^2$, $b_1^2q^4$, ... . Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Её первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Поскольку $|q| < 1$, то и $0 \le q^2 < 1$, значит, эта новая прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма $S_{кв}$ этой новой прогрессии вычисляется по аналогичной формуле:$S_{кв} = \frac{b_1^2}{1 - q^2}$По условию, сумма квадратов членов равна 448, что дает нам второе уравнение:$\frac{b_1^2}{1 - q^2} = 448$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} \frac{b_1}{1 - q} = 56 \\ \frac{b_1^2}{1 - q^2} = 448 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$:$b_1 = 56(1 - q)$

Подставим это выражение для $b_1$ во второе уравнение системы. Также воспользуемся формулой разности квадратов для знаменателя: $1 - q^2 = (1 - q)(1 + q)$.$\frac{(56(1 - q))^2}{(1 - q)(1 + q)} = 448$

Упростим полученное выражение:$\frac{56^2 (1 - q)^2}{(1 - q)(1 + q)} = 448$

Так как $|q| < 1$, то $1 - q \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(1 - q)$:$\frac{3136 (1 - q)}{1 + q} = 448$

Теперь найдем отношение $\frac{1 - q}{1 + q}$:$\frac{1 - q}{1 + q} = \frac{448}{3136}$

Сократим дробь $\frac{448}{3136}$. Учитывая, что $3136 = 56^2$ и $448 = 8 \times 56$:$\frac{448}{3136} = \frac{8 \times 56}{56 \times 56} = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$

Получаем уравнение относительно $q$:$\frac{1 - q}{1 + q} = \frac{1}{7}$

Решим это уравнение, используя свойство пропорции:$7(1 - q) = 1(1 + q)$$7 - 7q = 1 + q$$7 - 1 = 7q + q$$6 = 8q$$q = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Значение знаменателя $q = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$. Теперь, зная знаменатель, найдем первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения:$b_1 = 56(1 - q) = 56 \left(1 - \frac{3}{4}\right) = 56 \cdot \frac{1}{4} = 14$

Таким образом, мы нашли искомые параметры прогрессии.Ответ: первый член равен 14, знаменатель равен $\frac{3}{4}$.