Страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Решите нижеследующие задачи.

Задание 1-й группы. Найдите сумму площадей бесконечного числа квадратов, вписанных друг в друга так, как показано на рис. 3.2. Здесь сторона большого квадрата равна 1.

Рис. 3.2

Задание 2-й группы. Найдите сумму площадей бесконечного числа правильных треугольников, вписанных друг в друга так, как показано на рис. 3.3. Здесь сторона большого треугольника равна 1.

Рис. 3.3

Задание 1-й группы.
Для решения задачи найдем площади квадратов и их сумму. Площади квадратов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
Пусть сторона первого, самого большого квадрата, равна $a_1 = 1$. Его площадь $S_1 = a_1^2 = 1^2 = 1$.
Второй квадрат вписан в первый так, что его вершины находятся на серединах сторон первого квадрата. Сторону второго квадрата $a_2$ можно найти по теореме Пифагора. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами, равными половине стороны первого квадрата, то есть $a_1/2 = 1/2$.
$a_2^2 = (\frac{a_1}{2})^2 + (\frac{a_1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
Площадь второго квадрата $S_2 = a_2^2 = \frac{1}{2}$.
Аналогично, площадь третьего квадрата $S_3$ будет в два раза меньше площади второго квадрата $S_2$:
$S_3 = \frac{1}{2} S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Таким образом, мы имеем дело с бесконечно убывающей геометрической прогрессией, где первый член $b_1 = S_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.
Сумма членов такой прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим наши значения:
$S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.
Ответ: 2

Задание 2-й группы.
Аналогично первому заданию, найдем сумму площадей бесконечного числа правильных треугольников.
Сторона первого, самого большого, треугольника равна $a_1 = 1$. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Площадь первого треугольника: $S_1 = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Второй треугольник вписан в первый путем соединения середин сторон первого треугольника. По свойству средней линии треугольника, сторона второго треугольника $a_2$ в два раза меньше стороны первого: $a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{1}{2}$.
Площадь второго треугольника: $S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(1/2)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1/4 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}$.
Соотношение площадей: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\sqrt{3}/16}{\sqrt{3}/4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Площади треугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ и знаменателем $q = \frac{1}{4}$.
Сумма членов этой прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$