Страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.101. В острый угол вписаны несколько окружностей, касающихся друг друга внешним образом. Докажите, что радиусы этих окружностей образуют геометрическую прогрессию.

Пусть дан острый угол с вершиной в точке $O$ и величиной $2\alpha$. В этот угол вписана последовательность окружностей, касающихся друг друга внешним образом. Обозначим центры этих окружностей как $O_1, O_2, ..., O_n, O_{n+1}, ...$, а их радиусы — как $R_1, R_2, ..., R_n, R_{n+1}, ...$ в порядке их удаления от вершины угла $O$.

Поскольку каждая окружность вписана в угол, ее центр лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, все центры $O_1, O_2, ..., O_n, ...$ и вершина угла $O$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла.

Рассмотрим произвольную окружность с центром $O_n$ и радиусом $R_n$. Проведем из центра $O_n$ перпендикуляр к одной из сторон угла. Длина этого перпендикуляра равна радиусу $R_n$. Этот перпендикуляр, отрезок $OO_n$ (часть биссектрисы) и сторона угла образуют прямоугольный треугольник. Угол при вершине $O$ в этом треугольнике равен половине исходного угла, то есть $\alpha$.

В этом прямоугольном треугольнике расстояние от вершины угла $O$ до центра окружности $O_n$ является гипотенузой, а радиус $R_n$ — катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\sin(\alpha) = \frac{R_n}{|OO_n|}$

Отсюда расстояние от вершины $O$ до центра $O_n$ равно:

$|OO_n| = \frac{R_n}{\sin(\alpha)}$

Теперь рассмотрим две соседние окружности с центрами $O_n$, $O_{n+1}$ и радиусами $R_n$, $R_{n+1}$. По условию они касаются друг друга внешним образом. Это означает, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:

$|O_nO_{n+1}| = R_n + R_{n+1}$

Поскольку точки $O$, $O_n$ и $O_{n+1}$ лежат на одной прямой (биссектрисе), расстояние между центрами $O_n$ и $O_{n+1}$ также можно выразить как разность расстояний от вершины угла $O$:

$|O_nO_{n+1}| = |OO_{n+1}| - |OO_n|$

Приравняем два выражения для $|O_nO_{n+1}|$ и подставим формулы для $|OO_n|$ и $|OO_{n+1}|$:

$R_n + R_{n+1} = \frac{R_{n+1}}{\sin(\alpha)} - \frac{R_n}{\sin(\alpha)}$

$R_n + R_{n+1} = \frac{R_{n+1} - R_n}{\sin(\alpha)}$

Умножим обе части на $\sin(\alpha)$:

$(R_n + R_{n+1})\sin(\alpha) = R_{n+1} - R_n$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $R_n$ и $R_{n+1}$:

$R_n \sin(\alpha) + R_{n+1} \sin(\alpha) = R_{n+1} - R_n$

$R_n + R_n \sin(\alpha) = R_{n+1} - R_{n+1} \sin(\alpha)$

$R_n(1 + \sin(\alpha)) = R_{n+1}(1 - \sin(\alpha))$

Отсюда найдем отношение радиуса следующей окружности к предыдущей:

$\frac{R_{n+1}}{R_n} = \frac{1 + \sin(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$

Мы получили, что отношение радиусов любых двух соседних окружностей $R_{n+1}$ и $R_n$ есть постоянная величина $q = \frac{1 + \sin(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$, которая зависит только от величины угла $2\alpha$ и не зависит от номера окружности $n$.

Это по определению означает, что последовательность радиусов $R_1, R_2, ..., R_n, ...$ образует геометрическую прогрессию.

Ответ: Доказано, что радиусы окружностей образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1 + \sin(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$, где $2\alpha$ — величина данного угла.

3.102. Найдите сумму первых $n$ членов последовательности

$a_n = 2(n+3^{n-1})-3.$

Чтобы найти сумму первых $n$ членов последовательности $S_n$, необходимо вычислить сумму $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$.

Общий член последовательности задан формулой $a_n = 2(n + 3^{n-1}) - 3$. Преобразуем эту формулу, раскрыв скобки:

$a_n = 2n + 2 \cdot 3^{n-1} - 3$

Теперь запишем выражение для суммы $S_n$, подставив в него выражение для $a_k$:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k + 2 \cdot 3^{k-1} - 3)$

Используя свойство линейности суммы, мы можем разбить ее на три отдельные суммы:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} 3$

$S_n = 2\sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} 3$

Вычислим каждую из этих трех сумм по отдельности.

1. Первая сумма, $\sum_{k=1}^{n} k$, является суммой первых $n$ натуральных чисел (сумма членов арифметической прогрессии). Эта сумма вычисляется по известной формуле $\frac{n(n+1)}{2}$. Таким образом, первая часть нашего выражения равна:

$2 \cdot \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) = n^2 + n$

2. Вторая сумма, $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$, является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 3^{1-1} = 3^0 = 1$ и знаменатель $q = 3$. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$. В нашем случае это будет $\frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n-1}{2}$. Таким образом, вторая часть нашего выражения равна:

$2 \cdot \sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = 2 \cdot \frac{3^n-1}{2} = 3^n - 1$

3. Третья сумма, $\sum_{k=1}^{n} 3$, представляет собой сумму $n$ слагаемых, каждое из которых равно 3. Следовательно, эта сумма равна $3n$.

Теперь мы можем собрать все части вместе, чтобы найти итоговую сумму $S_n$:

$S_n = (n^2 + n) + (3^n - 1) - 3n$

Упрощая это выражение, получаем окончательную формулу:

$S_n = n^2 + n - 3n + 3^n - 1 = n^2 - 2n + 3^n - 1$

Ответ: $S_n = n^2 - 2n + 3^n - 1$.

3.103. Напишите общий член последовательности:

1) 1, 4, 9, 25, 36, ...;

2) $ -\frac{1}{2} $, $ -\frac{2}{3} $, $ -\frac{3}{4} $, $ -\frac{4}{5} $, $ -\frac{5}{6} $, ...

1) Рассмотрим данную последовательность: $1, 4, 9, 25, 36, ...$
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Выпишем первые несколько членов, сопоставив их с их номерами $n$:
$a_1 = 1 = 1^2$
$a_2 = 4 = 2^2$
$a_3 = 9 = 3^2$
$a_4 = 25 = 5^2$
$a_5 = 36 = 6^2$
Можно заметить, что все члены последовательности являются квадратами натуральных чисел. Однако в последовательности оснований степеней ($1, 2, 3, 5, 6, ...$) пропущено число 4. Вероятнее всего, это опечатка в условии задачи, и имелась в виду последовательность квадратов всех натуральных чисел: $1, 4, 9, 16, 25, 36, ...$
Для такой стандартной последовательности n-й член $a_n$ равен квадрату своего номера $n$.
Формула общего члена в этом случае имеет вид: $a_n = n^2$.
Ответ: $a_n = n^2$.

2) Рассмотрим последовательность: $-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, -\frac{5}{6}, ...$
Обозначим n-й член последовательности как $b_n$. Для нахождения общей формулы проанализируем структуру ее членов по частям.
Знак члена последовательности: Знаки чередуются, начиная с минуса (-, +, -, +, ...). Для n-го члена знак определяется множителем $(-1)^n$, который равен -1 для нечетных $n$ и +1 для четных $n$.
Числитель дроби: Числители представляют собой последовательность натуральных чисел $1, 2, 3, 4, 5, ...$. Таким образом, числитель n-го члена равен $n$.
Знаменатель дроби: Знаменатели образуют последовательность $2, 3, 4, 5, 6, ...$. Каждый знаменатель на единицу больше номера члена $n$. Таким образом, знаменатель n-го члена равен $n+1$.
Объединяя все компоненты, получаем общую формулу для n-го члена последовательности:
$b_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$
Проверим эту формулу для первых нескольких членов:
При $n=1$: $b_1 = (-1)^1 \frac{1}{1+1} = -\frac{1}{2}$
При $n=2$: $b_2 = (-1)^2 \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$
При $n=3$: $b_3 = (-1)^3 \frac{3}{3+1} = -\frac{3}{4}$
Формула верна.
Ответ: $b_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$.

3.104. Докажите, что значение выражения $\frac{9 - 4\sqrt{5}}{9 + 4\sqrt{5}} + \frac{9 + 4\sqrt{5}}{9 - 4\sqrt{5}}$ равно целому числу.

Чтобы доказать, что значение выражения является целым числом, необходимо его упростить. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{9 - 4\sqrt{5}}{9 + 4\sqrt{5}} + \frac{9 + 4\sqrt{5}}{9 - 4\sqrt{5}}$

Общий знаменатель – это произведение знаменателей дробей: $(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5})$. Данное выражение является произведением сопряженных чисел, и его можно вычислить по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - (16 \cdot 5) = 81 - 80 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю, который равен 1, и сложим их. Числитель итоговой дроби будет равен сумме квадратов $(9 - 4\sqrt{5})^2$ и $(9 + 4\sqrt{5})^2$:

$\frac{(9 - 4\sqrt{5})^2 + (9 + 4\sqrt{5})^2}{(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5})} = \frac{(9 - 4\sqrt{5})^2 + (9 + 4\sqrt{5})^2}{1}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(9 - 4\sqrt{5})^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4\sqrt{5} + (4\sqrt{5})^2 = 81 - 72\sqrt{5} + 80 = 161 - 72\sqrt{5}$.

$(9 + 4\sqrt{5})^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot 4\sqrt{5} + (4\sqrt{5})^2 = 81 + 72\sqrt{5} + 80 = 161 + 72\sqrt{5}$.

Сложим полученные результаты:

$(161 - 72\sqrt{5}) + (161 + 72\sqrt{5}) = 161 + 161 - 72\sqrt{5} + 72\sqrt{5} = 322$.

Итак, значение исходного выражения равно $\frac{322}{1} = 322$. Поскольку 322 — это целое число, то утверждение доказано.

Ответ: 322.

3.105. Решите уравнение $x^2-x-2=0$ графическим способом.

Для решения уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ графическим способом, преобразуем его к виду, удобному для построения графиков. Перенесем члены $x$ и $2$ в правую часть уравнения:

$x^2 = x + 2$

Теперь задача сводится к нахождению точек пересечения графиков двух функций: $y = x^2$ и $y = x + 2$. Абсциссы (координаты $x$) этих точек пересечения и будут являться корнями исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = x^2$.

Этот график — парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для более точного построения вычислим значения $y$ для нескольких значений $x$:

• при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$
• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$
• при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$

2. Построение графика функции $y = x + 2$.

Этот график — прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем их, подставив произвольные значения $x$:

• при $x = 0$, $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

3. Построение графиков и нахождение решения.

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = x + 2$ в одной системе координат.

Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках: A и B.

Координаты точки A: $(-1, 1)$.

Координаты точки B: $(2, 4)$.

Корнями уравнения являются абсциссы ($x$) этих точек. Таким образом, получаем два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Для проверки подставим найденные значения в исходное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$:

При $x = -1$: $(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Верно.

При $x = 2$: $(2)^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$. Верно.

Следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: -1; 2.