Номер 3.103, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.103. Напишите общий член последовательности:

1) 1, 4, 9, 25, 36, ...;

2) $ -\frac{1}{2} $, $ -\frac{2}{3} $, $ -\frac{3}{4} $, $ -\frac{4}{5} $, $ -\frac{5}{6} $, ...

1) Рассмотрим данную последовательность: $1, 4, 9, 25, 36, ...$
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Выпишем первые несколько членов, сопоставив их с их номерами $n$:
$a_1 = 1 = 1^2$
$a_2 = 4 = 2^2$
$a_3 = 9 = 3^2$
$a_4 = 25 = 5^2$
$a_5 = 36 = 6^2$
Можно заметить, что все члены последовательности являются квадратами натуральных чисел. Однако в последовательности оснований степеней ($1, 2, 3, 5, 6, ...$) пропущено число 4. Вероятнее всего, это опечатка в условии задачи, и имелась в виду последовательность квадратов всех натуральных чисел: $1, 4, 9, 16, 25, 36, ...$
Для такой стандартной последовательности n-й член $a_n$ равен квадрату своего номера $n$.
Формула общего члена в этом случае имеет вид: $a_n = n^2$.
Ответ: $a_n = n^2$.

2) Рассмотрим последовательность: $-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, -\frac{5}{6}, ...$
Обозначим n-й член последовательности как $b_n$. Для нахождения общей формулы проанализируем структуру ее членов по частям.
Знак члена последовательности: Знаки чередуются, начиная с минуса (-, +, -, +, ...). Для n-го члена знак определяется множителем $(-1)^n$, который равен -1 для нечетных $n$ и +1 для четных $n$.
Числитель дроби: Числители представляют собой последовательность натуральных чисел $1, 2, 3, 4, 5, ...$. Таким образом, числитель n-го члена равен $n$.
Знаменатель дроби: Знаменатели образуют последовательность $2, 3, 4, 5, 6, ...$. Каждый знаменатель на единицу больше номера члена $n$. Таким образом, знаменатель n-го члена равен $n+1$.
Объединяя все компоненты, получаем общую формулу для n-го члена последовательности:
$b_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$
Проверим эту формулу для первых нескольких членов:
При $n=1$: $b_1 = (-1)^1 \frac{1}{1+1} = -\frac{1}{2}$
При $n=2$: $b_2 = (-1)^2 \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$
При $n=3$: $b_3 = (-1)^3 \frac{3}{3+1} = -\frac{3}{4}$
Формула верна.
Ответ: $b_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$.