Номер 3.97, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.97. Выразите произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии $\lbrace a_n \rbrace$ через $a_1$ и $a_n$.

Пусть $P_n$ – произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии $\{a_n\}$. По определению, $P_n = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n$.

Запишем это произведение дважды: один раз в прямом порядке, а второй раз – в обратном.

$P_n = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_n$

$P_n = a_n \cdot a_{n-1} \cdot \ldots \cdot a_2 \cdot a_1$

Теперь перемножим эти два равенства:

$P_n^2 = (a_1 \cdot a_n) \cdot (a_2 \cdot a_{n-1}) \cdot \ldots \cdot (a_{n-1} \cdot a_2) \cdot (a_n \cdot a_1)$

В геометрической прогрессии произведение членов, равноудаленных от концов, является постоянной величиной. Докажем это. Пусть $q$ – знаменатель прогрессии. Тогда $k$-й член прогрессии равен $a_k = a_1 \cdot q^{k-1}$. Член, находящийся на $k$-м месте с конца, имеет номер $n-k+1$, и он равен $a_{n-k+1} = a_1 \cdot q^{n-k}$.

Найдем их произведение:

$a_k \cdot a_{n-k+1} = (a_1 \cdot q^{k-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{n-k}) = a_1^2 \cdot q^{k-1+n-k} = a_1^2 \cdot q^{n-1}$

Так как $n$-й член прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, то можно записать:

$a_k \cdot a_{n-k+1} = a_1 \cdot (a_1 \cdot q^{n-1}) = a_1 \cdot a_n$

Это означает, что произведение любого члена на соответствующий ему равноудаленный от конца член равно произведению первого и последнего членов.

В выражении для $P_n^2$ всего $n$ таких пар, и произведение в каждой паре равно $a_1 \cdot a_n$. Следовательно:

$P_n^2 = (a_1 \cdot a_n)^n$

Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получаем искомую формулу для произведения первых $n$ членов. Если все члены прогрессии положительны, то и их произведение положительно.

$P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n} = (a_1 \cdot a_n)^{\frac{n}{2}}$

Ответ: $(a_1 \cdot a_n)^{\frac{n}{2}}$