Номер 3.91, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.91. Найдите сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии:

1) $1, 3, 3^2, \ldots$;

2) $2, 2^2, 2^3, \ldots$;

3) $1, -x, x^2, \ldots$; $x \neq \pm 1$;

4) $1, x^2, x^4, \ldots$; $x \neq \pm 1$;

5) $\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$;

6) $1, -x^3, x^6, \ldots$; $x \neq -1$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q \neq 1$ используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

1) В геометрической прогрессии $1, 3, 3^2, ...$ первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{3}{1} = 3$. Сумма первых $n$ членов равна: $S_n = \frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.

Ответ: $S_n = \frac{3^n - 1}{2}$.

2) В геометрической прогрессии $2, 2^2, 2^3, ...$ первый член $b_1 = 2$, а знаменатель $q = \frac{2^2}{2} = 2$. Сумма первых $n$ членов равна: $S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1)$.

Ответ: $S_n = 2(2^n - 1)$.

3) В геометрической прогрессии $1, -x, x^2, ...$ (при $x \neq \pm 1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x}{1} = -x$. Условие $x \neq -1$ гарантирует, что $q \neq 1$. Для удобства вычислений используем формулу в виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Подставляя значения, получаем: $S_n = \frac{1 \cdot (1 - (-x)^n)}{1 - (-x)} = \frac{1 - (-x)^n}{1+x}$.

Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x)^n}{1+x}$.

4) В геометрической прогрессии $1, x^2, x^4, ...$ (при $x \neq \pm 1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{x^2}{1} = x^2$. Условие $x \neq \pm 1$ гарантирует, что $q \neq 1$. Сумма первых $n$ членов равна: $S_n = \frac{1 \cdot ((x^2)^n - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.

Ответ: $S_n = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.

5) В геометрической прогрессии $\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...$ первый член $b_1 = \frac{1}{2}$, а знаменатель $q = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{1}{2}$. Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$: $S_n = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)$.

Ответ: $S_n = \frac{1}{3}\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)$.

6) В геометрической прогрессии $1, -x^3, x^6, ...$ (при $x \neq -1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x^3}{1} = -x^3$. Условие $x \neq -1$ гарантирует, что $q \neq 1$ (поскольку $(-1)^3 = -1$). Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$: $S_n = \frac{1 \cdot (1 - (-x^3)^n)}{1 - (-x^3)} = \frac{1 - (-x^3)^n}{1+x^3}$.

Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x^3)^n}{1+x^3}$.