Номер 3.85, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.85. Найдите сумму членов от 20-го по 25-й арифметической прогрессии ${a_n}$, если $a_1=2$, $d=2$.

Для того чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$ с 20-го по 25-й, мы можем использовать два подхода. В обоих случаях нам даны первый член прогрессии $a_1 = 2$ и ее разность $d = 2$.

Способ 1: Нахождение суммы как разности сумм.

Искомая сумма $S$ может быть вычислена как разность между суммой первых 25 членов ($S_{25}$) и суммой первых 19 членов ($S_{19}$). То есть, $S = S_{25} - S_{19}$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

1. Вычислим $S_{25}$:
$S_{25} = \frac{2 \cdot 2 + 2(25-1)}{2} \cdot 25 = \frac{4 + 2 \cdot 24}{2} \cdot 25 = \frac{4 + 48}{2} \cdot 25 = \frac{52}{2} \cdot 25 = 26 \cdot 25 = 650$.

2. Вычислим $S_{19}$:
$S_{19} = \frac{2 \cdot 2 + 2(19-1)}{2} \cdot 19 = \frac{4 + 2 \cdot 18}{2} \cdot 19 = \frac{4 + 36}{2} \cdot 19 = \frac{40}{2} \cdot 19 = 20 \cdot 19 = 380$.

3. Найдем искомую сумму:
$S = S_{25} - S_{19} = 650 - 380 = 270$.

Способ 2: Рассмотрение членов с 20-го по 25-й как отдельной прогрессии.

Последовательность членов с 20-го по 25-й ($a_{20}, a_{21}, \dots, a_{25}$) сама является арифметической прогрессией. Количество членов в ней $n = 25 - 20 + 1 = 6$.

1. Найдем первый член этой новой последовательности, $a_{20}$, используя формулу $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{20} = a_1 + (20-1)d = 2 + 19 \cdot 2 = 2 + 38 = 40$.

2. Найдем последний член этой последовательности, $a_{25}$:
$a_{25} = a_1 + (25-1)d = 2 + 24 \cdot 2 = 2 + 48 = 50$.

3. Найдем сумму этой новой прогрессии по формуле $S = \frac{n}{2}(a_{первый} + a_{последний})$:
$S = \frac{6}{2}(a_{20} + a_{25}) = 3 \cdot (40 + 50) = 3 \cdot 90 = 270$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 270