Номер 3.84, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.84. Найдите сумму:

1) $2+4+6+...+2n$

2) $1+3+5+...+ (2n-1)$

1) Для нахождения суммы $2+4+6+...+2n$ можно заметить, что все слагаемые являются четными числами. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S_1 = 2+4+6+...+2n = 2(1+2+3+...+n)$.
В скобках находится сумма первых $n$ натуральных чисел. Эта сумма является суммой арифметической прогрессии, где первый член $a_1=1$, последний член $a_n=n$, и количество членов равно $n$. Формула для суммы первых $n$ натуральных чисел:
$1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$.
Подставим это выражение обратно в нашу формулу для $S_1$:
$S_1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
Ответ: $n(n+1)$.

2) Для нахождения суммы $1+3+5+...+(2n-1)$ мы имеем дело с последовательностью нечетных чисел. Эта последовательность представляет собой арифметическую прогрессию.
Определим ее параметры:
Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
Разность прогрессии $d = 3-1=2$.
Общий вид члена прогрессии $a_k = a_1 + (k-1)d = 1 + (k-1)2 = 1+2k-2 = 2k-1$.
Последний член в нашей сумме имеет вид $2n-1$. Чтобы найти количество членов в сумме, приравняем общий вид члена к последнему члену:
$a_k = 2k-1 = 2n-1$.
Отсюда следует, что $k=n$. Таким образом, в сумме ровно $n$ слагаемых.
Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}$.
Подставим наши значения: первый член $a_1=1$ и $n$-й член $a_n=2n-1$.
$S_n = \frac{(1 + (2n-1))n}{2} = \frac{(2n)n}{2} = \frac{2n^2}{2} = n^2$.
Ответ: $n^2$.