Номер 3.89, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.89. Найдите $S_{16}$, если в геометрической прогрессии $S_4=-28$, $S_6=58$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Мы предполагаем, что $q \neq 1$.

Согласно условию задачи, имеем систему из двух уравнений:

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = -28$

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = 58$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить $b_1$ (при условии, что $S_4 \neq 0$ и $b_1 \neq 0$):

$\frac{S_6}{S_4} = \frac{\frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1}}{\frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1}} = \frac{q^6 - 1}{q^4 - 1}$

Подставим известные значения $S_4$ и $S_6$:

$\frac{58}{-28} = \frac{q^6 - 1}{q^4 - 1}$

$-\frac{29}{14} = \frac{q^6 - 1}{q^4 - 1}$

Умножим обе части уравнения на $14(q^4 - 1)$ (при условии $q^4 \neq 1$):

$-29(q^4 - 1) = 14(q^6 - 1)$

$-29q^4 + 29 = 14q^6 - 14$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить полиномиальное уравнение:

$14q^6 + 29q^4 - 43 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = q^2$. Поскольку $q$ — действительное число, то $y$ должно быть неотрицательным ($y \ge 0$).

$14y^3 + 29y^2 - 43 = 0$

Попробуем найти целые корни этого кубического уравнения среди делителей свободного члена (-43). Проверим $y=1$:

$14(1)^3 + 29(1)^2 - 43 = 14 + 29 - 43 = 43 - 43 = 0$

Так как $y=1$ является корнем, мы можем разложить многочлен на множители, разделив его на $(y-1)$.

$(y - 1)(14y^2 + 43y + 43) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $y - 1 = 0 \implies y = 1$

2) $14y^2 + 43y + 43 = 0$

Рассмотрим второе уравнение. Найдем его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 43^2 - 4 \cdot 14 \cdot 43 = 1849 - 2408 = -559$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $14y^2 + 43y + 43 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением для $y$ является $y=1$.

Вернемся к замене $y = q^2$:

$q^2 = 1 \implies q = 1$ или $q = -1$.

Теперь нужно проверить, могут ли эти значения знаменателя $q$ соответствовать условиям задачи.

Случай 1: $q = 1$

Если $q=1$, то все члены прогрессии равны $b_1$. Сумма $S_n = n \cdot b_1$.

Из условия $S_4 = -28$ получаем $4b_1 = -28 \implies b_1 = -7$.

Тогда $S_6$ должна быть равна $6b_1 = 6(-7) = -42$.

Однако по условию $S_6 = 58$. Получаем противоречие ($ -42 \neq 58$). Значит, $q \neq 1$.

Случай 2: $q = -1$

Если $q=-1$, то члены прогрессии чередуются: $b_1, -b_1, b_1, -b_1, \dots$

Сумма четного числа членов такой прогрессии равна нулю. Таким образом, $S_4 = b_1 - b_1 + b_1 - b_1 = 0$.

Однако по условию $S_4 = -28$. Получаем противоречие ($0 \neq -28$). Значит, $q \neq -1$.

Вывод

Мы показали, что единственное возможное действительное значение для $q^2$ равно 1, что соответствует $q=1$ или $q=-1$. Оба эти случая приводят к противоречию с исходными данными. Это означает, что не существует геометрической прогрессии с действительными членами, которая удовлетворяла бы условиям $S_4 = -28$ и $S_6 = 58$. Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: Заданная в условии геометрическая прогрессия с действительными членами не существует, поэтому найти $S_{16}$ невозможно.