Номер 3.77, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.77. Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии:

1) $-23, -20; \dots;$

2) $14,2; 9,6; \dots;$

3) $b_1=-17, d=6;$

4) $b_1=6,4, d=0,8;$

5) $a_1=3, a_{10}=17;$

6) $a_1=-10,5, a_{10}=12.$

Для решения задачи будем использовать формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии.
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — $n$-й член прогрессии.
Во всех случаях требуется найти сумму первых 10 членов, то есть $n=10$.

1) Дана прогрессия $-23, -20, \dots$.
Первый член прогрессии $a_1 = -23$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -20 - (-23) = 3$.
Теперь найдем сумму первых 10 членов:
$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot (-23) + 3 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{-46 + 27}{2} \cdot 10 = \frac{-19}{2} \cdot 10 = -19 \cdot 5 = -95$.
Ответ: $-95$.

2) Дана прогрессия $14,2; 9,6; \dots$.
Первый член прогрессии $a_1 = 14,2$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 9,6 - 14,2 = -4,6$.
Найдем сумму первых 10 членов:
$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 14,2 + (-4,6) \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{28,4 - 41,4}{2} \cdot 10 = \frac{-13}{2} \cdot 10 = -13 \cdot 5 = -65$.
Ответ: $-65$.

3) Даны первый член прогрессии $b_1 = -17$ и разность $d=6$. Будем считать, что $a_1 = b_1$.
$a_1 = -17, d=6$.
Найдем сумму первых 10 членов:
$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot (-17) + 6 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{-34 + 54}{2} \cdot 10 = \frac{20}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100$.
Ответ: $100$.

4) Даны первый член прогрессии $b_1 = 6,4$ и разность $d=0,8$. Будем считать, что $a_1 = b_1$.
$a_1 = 6,4, d=0,8$.
Найдем сумму первых 10 членов:
$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 6,4 + 0,8 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{12,8 + 7,2}{2} \cdot 10 = \frac{20}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100$.
Ответ: $100$.

5) Даны первый член прогрессии $a_1 = 3$ и десятый член $a_{10} = 17$.
Для нахождения суммы воспользуемся второй формулой, так как известны первый и десятый члены:
$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{3 + 17}{2} \cdot 10 = \frac{20}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100$.
Ответ: $100$.

6) Даны первый член прогрессии $a_1 = -10,5$ и десятый член $a_{10} = 12$.
Используем формулу суммы через первый и $n$-й члены:
$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{-10,5 + 12}{2} \cdot 10 = \frac{1,5}{2} \cdot 10 = 1,5 \cdot 5 = 7,5$.
Ответ: $7,5$.