Номер 3.75, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.75. Сократите дроби:

1) $ \frac{7^n - 3 \cdot 7^{n-1}}{4} $

2) $ \frac{5^{2n+1} - 5^{2n-1}}{12 \cdot 5^{n-1}} $

1) Чтобы сократить дробь $\frac{7^n - 3 \cdot 7^{n-1}}{4}$, вынесем общий множитель в числителе. Общим множителем является степень с наименьшим показателем, то есть $7^{n-1}$.
Представим $7^n$ в виде $7^{n-1+1} = 7^1 \cdot 7^{n-1} = 7 \cdot 7^{n-1}$.
Теперь выражение в числителе можно переписать и вынести общий множитель за скобки:
$7^n - 3 \cdot 7^{n-1} = 7 \cdot 7^{n-1} - 3 \cdot 7^{n-1} = (7-3) \cdot 7^{n-1} = 4 \cdot 7^{n-1}$.
Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{4 \cdot 7^{n-1}}{4}$.
Сократим дробь на 4:
$\frac{\cancel{4} \cdot 7^{n-1}}{\cancel{4}} = 7^{n-1}$.
Ответ: $7^{n-1}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{5^{2n+1} - 5^{2n-1}}{12 \cdot 5^{n-1}}$, сначала упростим числитель. Вынесем за скобки общий множитель $5^{2n-1}$.
Представим $5^{2n+1}$ в виде $5^{2n-1+2} = 5^2 \cdot 5^{2n-1}$.
Тогда числитель примет вид:
$5^{2n+1} - 5^{2n-1} = 5^2 \cdot 5^{2n-1} - 1 \cdot 5^{2n-1} = (5^2 - 1) \cdot 5^{2n-1} = (25-1) \cdot 5^{2n-1} = 24 \cdot 5^{2n-1}$.
Теперь подставим упрощенный числитель в исходную дробь:
$\frac{24 \cdot 5^{2n-1}}{12 \cdot 5^{n-1}}$.
Сократим числовые коэффициенты $\frac{24}{12} = 2$.
Затем сократим степени с основанием 5, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{5^{2n-1}}{5^{n-1}} = 5^{(2n-1) - (n-1)} = 5^{2n-1-n+1} = 5^n$.
Объединим полученные результаты:
$2 \cdot 5^n$.
Ответ: $2 \cdot 5^n$.