Номер 3.76, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.76. Упростите выражения:

1)

$\frac{a^2 + 3a + 2}{a^2 + 6a + 5}$;

2)

$\frac{b^2 + 2b + 1}{b^2 + 8b + 7}$.

1) Чтобы упростить данное выражение, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби. И числитель, и знаменатель являются квадратными трехчленами вида $ax^2+bx+c$, которые можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

Разложим на множители числитель $a^2 + 3a + 2$. Для этого решим квадратное уравнение $a^2 + 3a + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Корнями являются числа $-1$ и $-2$.
Следовательно, $a^2 + 3a + 2 = (a - (-1))(a - (-2)) = (a + 1)(a + 2)$.

Разложим на множители знаменатель $a^2 + 6a + 5$. Решим уравнение $a^2 + 6a + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Корнями являются числа $-1$ и $-5$.
Следовательно, $a^2 + 6a + 5 = (a - (-1))(a - (-5)) = (a + 1)(a + 5)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $(a+1)$:

$$ \frac{a^2 + 3a + 2}{a^2 + 6a + 5} = \frac{(a + 1)(a + 2)}{(a + 1)(a + 5)} = \frac{a + 2}{a + 5} $$

Ответ: $ \frac{a + 2}{a + 5} $

2) Для упрощения второго выражения также разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $b^2 + 2b + 1$ представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Таким образом, $b^2 + 2b + 1 = (b+1)^2$.

Знаменатель $b^2 + 8b + 7$ является квадратным трехчленом. Разложим его на множители, найдя корни уравнения $b^2 + 8b + 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $7$. Корнями являются числа $-1$ и $-7$.
Следовательно, $b^2 + 8b + 7 = (b - (-1))(b - (-7)) = (b + 1)(b + 7)$.

Подставим разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $(b+1)$:

$$ \frac{b^2 + 2b + 1}{b^2 + 8b + 7} = \frac{(b+1)^2}{(b+1)(b+7)} = \frac{(b+1)(b+1)}{(b+1)(b+7)} = \frac{b+1}{b+7} $$

Ответ: $ \frac{b+1}{b+7} $