Номер 3.70, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.70. Напишите первые несколько членов геометрической прогрессии $\{a_n\}$, если $a_1 + a_4 = 35$ и $a_2 + a_3 = 30$.

Пусть $a_1$ — первый член геометрической прогрессии $\{a_n\}$, а $q$ — её знаменатель. Общий член прогрессии задается формулой $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Из условия задачи составим систему уравнений:

$ \begin{cases} a_1 + a_4 = 35 \\ a_2 + a_3 = 30 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $q$ и подставим в систему:

$ \begin{cases} a_1 + a_1 q^3 = 35 \\ a_1 q + a_1 q^2 = 30 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} a_1 (1 + q^3) = 35 \\ a_1 q (1 + q) = 30 \end{cases} $

Поскольку правая часть второго уравнения не равна нулю ($30 \neq 0$), то $a_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$. Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{a_1(1+q^3)}{a_1q(1+q)} = \frac{35}{30}$

Сократим $a_1$ и используем формулу суммы кубов $1+q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1+q)} = \frac{7}{6}$

Сократив множитель $(1+q)$, получим:

$\frac{1-q+q^2}{q} = \frac{7}{6}$

Решим это уравнение относительно $q$:

$6(1-q+q^2) = 7q$

$6 - 6q + 6q^2 = 7q$

$6q^2 - 13q + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13+5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$q_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13-5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Таким образом, существуют два возможных решения.

Случай 1

Пусть $q = \frac{3}{2}$. Найдем $a_1$ из уравнения $a_1 q (1 + q) = 30$:

$a_1 \cdot \frac{3}{2} (1 + \frac{3}{2}) = 30$

$a_1 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = 30$

$a_1 \cdot \frac{15}{4} = 30$

$a_1 = \frac{30 \cdot 4}{15} = 8$.

Первые члены прогрессии: $a_1=8$, $a_2=8 \cdot \frac{3}{2}=12$, $a_3=12 \cdot \frac{3}{2}=18$, $a_4=18 \cdot \frac{3}{2}=27$.

Проверка: $a_1+a_4 = 8+27=35$, $a_2+a_3=12+18=30$.

Ответ: 8, 12, 18, 27, ...

Случай 2

Пусть $q = \frac{2}{3}$. Найдем $a_1$ из уравнения $a_1 q (1 + q) = 30$:

$a_1 \cdot \frac{2}{3} (1 + \frac{2}{3}) = 30$

$a_1 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} = 30$

$a_1 \cdot \frac{10}{9} = 30$

$a_1 = \frac{30 \cdot 9}{10} = 27$.

Первые члены прогрессии: $a_1=27$, $a_2=27 \cdot \frac{2}{3}=18$, $a_3=18 \cdot \frac{2}{3}=12$, $a_4=12 \cdot \frac{2}{3}=8$.

Проверка: $a_1+a_4 = 27+8=35$, $a_2+a_3=18+12=30$.

Ответ: 27, 18, 12, 8, ...