Номер 3.64, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.64. Определите номер $n$, если в геометрической прогрессии $\{b_n\}:

1) $q=3, b_1=2, b_n=162;$

2) $q=\frac{1}{2}, b_1=128, b_n=1;$

3) $q=-\frac{2}{3}, b_1=\frac{81}{4}, b_n=4;$

4) $q=0,1, b_1=2, b_n=0,002.$

1)

Для определения номера $n$ члена геометрической прогрессии $\{b_n\}$ используется формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию дано: $q=3$, $b_1=2$, $b_n=162$.

Подставим эти значения в формулу:

$162 = 2 \cdot 3^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$81 = 3^{n-1}$

Представим 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.

$3^4 = 3^{n-1}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$4 = n-1$

Отсюда находим $n$:

$n = 4 + 1 = 5$

Ответ: $n=5$.

2)

Используем ту же формулу: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию дано: $q=\frac{1}{2}$, $b_1=128$, $b_n=1$.

Подставим значения в формулу:

$1 = 128 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Разделим обе части на 128:

$\frac{1}{128} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Представим $\frac{1}{128}$ как степень числа $\frac{1}{2}$. Поскольку $2^7 = 128$, то $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = \left(\frac{1}{2}\right)^7$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^7 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$7 = n-1$

Находим $n$:

$n = 7 + 1 = 8$

Ответ: $n=8$.

3)

Снова используем формулу $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию дано: $q=-\frac{2}{3}$, $b_1=\frac{81}{4}$, $b_n=4$.

Подставляем значения:

$4 = \frac{81}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

Умножим обе части на $\frac{4}{81}$, чтобы выделить степень:

$4 \cdot \frac{4}{81} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

$\frac{16}{81} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

Представим $\frac{16}{81}$ как степень с основанием $-\frac{2}{3}$. Мы знаем, что $16=2^4$ и $81=3^4$, поэтому $\frac{16}{81} = \left(\frac{2}{3}\right)^4$. Так как результат положителен, показатель степени $n-1$ должен быть четным числом. Таким образом, $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \left(-\frac{2}{3}\right)^4$.

$\left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

Приравниваем показатели:

$4 = n-1$

Находим $n$:

$n = 4 + 1 = 5$

Ответ: $n=5$.

4)

Используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию дано: $q=0,1$, $b_1=2$, $b_n=0,002$.

Подставляем значения:

$0,002 = 2 \cdot (0,1)^{n-1}$

Разделим обе части на 2:

$0,001 = (0,1)^{n-1}$

Представим 0,001 как степень числа 0,1. Мы знаем, что $0,1^3 = 0,001$.

$(0,1)^3 = (0,1)^{n-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$3 = n-1$

Находим $n$:

$n = 3 + 1 = 4$

Ответ: $n=4$.