Номер 3.61, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.61. Найдите знаменатель геометрической прогрессии $\lbrace b_n \rbrace$, если:

1) $b_1=1, b_4=64;$

2) $b_6=25, b_8=9;$

3) $b_2=25, b_4=1.$

1) Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию дано, что $b_1=1$ и $b_4=64$. Подставим эти значения в формулу для n=4:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$

$64 = 1 \cdot q^3$

$q^3 = 64$

Чтобы найти $q$, нужно извлечь кубический корень из 64:

$q = \sqrt[3]{64}$

$q = 4$

Ответ: $4$.

2) Для нахождения знаменателя прогрессии $q$, зная два её члена $b_k$ и $b_m$, можно использовать формулу $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

По условию дано, что $b_6=25$ и $b_8=9$. Подставим эти значения в формулу, где $k=6$ и $m=8$:

$b_8 = b_6 \cdot q^{8-6}$

$9 = 25 \cdot q^2$

Выразим $q^2$ из этого уравнения:

$q^2 = \frac{9}{25}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$q = \pm\sqrt{\frac{9}{25}}$

$q = \pm\frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$ или $-\frac{3}{5}$.

3) Используем ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

По условию дано, что $b_2=25$ и $b_4=1$. Подставим эти значения в формулу, где $k=2$ и $m=4$:

$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2}$

$1 = 25 \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{1}{25}$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $q$:

$q = \pm\sqrt{\frac{1}{25}}$

$q = \pm\frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$ или $-\frac{1}{5}$.