Номер 3.60, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.60. Найдите $q$, $b_1$, $b_6$, $b_{n+3}$ геометрической прогрессии ${b_n}$, если:

1) $b_n = 2 \cdot 7^{n-1}$

2) $b_n = \frac{3}{5^n}$

3) $b_n = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

4) $b_n = \frac{(-1)^{n-1}}{3^n}$

1) Дана формула n-го члена геометрической прогрессии $b_n = 2 \cdot 7^{n-1}$.

Эта формула соответствует стандартному виду формулы n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ - первый член, а $q$ - знаменатель прогрессии.

Сравнивая две формулы, находим:

Первый член прогрессии $b_1 = 2$.

Знаменатель прогрессии $q = 7$.

Теперь найдем $b_6$ и $b_{n+3}$, подставив $n=6$ и $n=n+3$ в исходную формулу.

Для $n=6$:

$b_6 = 2 \cdot 7^{6-1} = 2 \cdot 7^5 = 2 \cdot 16807 = 33614$.

Для $n=n+3$:

$b_{n+3} = 2 \cdot 7^{(n+3)-1} = 2 \cdot 7^{n+2}$.

Ответ: $q=7$, $b_1=2$, $b_6=33614$, $b_{n+3} = 2 \cdot 7^{n+2}$.

2) Дана формула n-го члена геометрической прогрессии $b_n = \frac{3}{5^n}$.

Чтобы найти $b_1$ и $q$, приведем формулу к стандартному виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

$b_n = \frac{3}{5^n} = \frac{3}{5 \cdot 5^{n-1}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5^{n-1}} = \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}$.

Из этой формы видно, что первый член $b_1 = \frac{3}{5}$ и знаменатель $q = \frac{1}{5}$.

Теперь найдем $b_6$, подставив $n=6$ в исходную формулу:

$b_6 = \frac{3}{5^6} = \frac{3}{15625}$.

Для нахождения $b_{n+3}$ подставим $n+3$ вместо $n$:

$b_{n+3} = \frac{3}{5^{n+3}}$.

Ответ: $q=\frac{1}{5}$, $b_1=\frac{3}{5}$, $b_6=\frac{3}{15625}$, $b_{n+3} = \frac{3}{5^{n+3}}$.

3) Дана формула n-го члена геометрической прогрессии $b_n = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Формула уже представлена в стандартном виде $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Сравнивая, находим, что первый член $b_1 = 5$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем $b_6$, подставив $n=6$ в формулу:

$b_6 = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{6-1} = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = 5 \cdot \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{5}{32}$.

Для нахождения $b_{n+3}$ подставим $n+3$ вместо $n$:

$b_{n+3} = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{(n+3)-1} = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+2}$.

Ответ: $q=-\frac{1}{2}$, $b_1=5$, $b_6=-\frac{5}{32}$, $b_{n+3} = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+2}$.

4) Дана формула n-го члена геометрической прогрессии $b_n = \frac{(-1)^{n-1}}{3^n}$.

Приведем формулу к стандартному виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

$b_n = \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} = \frac{(-1)^{n-1}}{3 \cdot 3^{n-1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}} = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$.

Из этой формы видно, что первый член $b_1 = \frac{1}{3}$ и знаменатель $q = -\frac{1}{3}$.

Теперь найдем $b_6$, подставив $n=6$ в исходную формулу:

$b_6 = \frac{(-1)^{6-1}}{3^6} = \frac{-1}{729}$.

Для нахождения $b_{n+3}$ подставим $n+3$ вместо $n$:

$b_{n+3} = \frac{(-1)^{(n+3)-1}}{3^{n+3}} = \frac{(-1)^{n+2}}{3^{n+3}}$.

Ответ: $q=-\frac{1}{3}$, $b_1=\frac{1}{3}$, $b_6=-\frac{1}{729}$, $b_{n+3} = \frac{(-1)^{n+2}}{3^{n+3}}$.