Номер 3.67, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.67. Найдите три числа, являющиеся первыми тремя членами геометрической прогрессии, у которой сумма первого и третьего членов равна $52$, а квадрат второго члена равен $100$.

Пусть первые три члена геометрической прогрессии будут $b_1$, $b_2$ и $b_3$. По определению геометрической прогрессии, они связаны соотношениями $b_2 = b_1q$ и $b_3 = b_1q^2$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Из условия задачи нам даны два равенства:

1. Сумма первого и третьего членов равна 52: $b_1 + b_3 = 52$.

2. Квадрат второго члена равен 100: $b_2^2 = 100$.

Для любой геометрической прогрессии квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов. Для наших чисел это свойство записывается как $b_2^2 = b_1 b_3$.

Используя второе условие, получаем: $b_1 b_3 = 100$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $b_1$ и $b_3$:

$ \begin{cases} b_1 + b_3 = 52 \\ b_1 b_3 = 100 \end{cases} $

Согласно теореме Виета, числа $b_1$ и $b_3$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (b_1 + b_3)x + b_1 b_3 = 0$. Подставив значения из системы, получим:

$x^2 - 52x + 100 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 2704 - 400 = 2304$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{2304} = 48$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{52 - 48}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{52 + 48}{2} = \frac{100}{2} = 50$

Таким образом, первый и третий члены прогрессии — это числа 2 и 50. Возможны два случая:

1. $b_1 = 2$ и $b_3 = 50$.

2. $b_1 = 50$ и $b_3 = 2$.

Из условия $b_2^2 = 100$ следует, что второй член прогрессии может быть равен $10$ или $-10$.

Рассмотрим все возможные комбинации:

Случай 1: $b_1 = 2$, $b_3 = 50$.

- Если $b_2 = 10$, то получаем последовательность 2, 10, 50. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{10}{2} = 5$.

- Если $b_2 = -10$, то получаем последовательность 2, -10, 50. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{-10}{2} = -5$.

Случай 2: $b_1 = 50$, $b_3 = 2$.

- Если $b_2 = 10$, то получаем последовательность 50, 10, 2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$.

- Если $b_2 = -10$, то получаем последовательность 50, -10, 2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5}$.

Все четыре найденные тройки чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: искомые числа могут быть (2, 10, 50), или (2, -10, 50), или (50, 10, 2), или (50, -10, 2).