Номер 3.73, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.73. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если от третьего числа отнять 4, то полученная тройка образует арифметическую прогрессию. А если от второго и третьего членов арифметической прогрессии отнять 1 и 5 соответственно, то они снова образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные три числа.

Пусть искомые три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим их для удобства как $x, y, z$.По определению геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению крайних членов:$y^2 = xz$

Согласно первому условию, если от третьего числа отнять 4, то полученная тройка $x, y, z-4$ образует арифметическую прогрессию. По определению арифметической прогрессии, средний член равен полусумме крайних членов:$y = \frac{x + (z-4)}{2}$$2y = x + z - 4$

Второе условие гласит: "если от второго и третьего членов арифметической прогрессии отнять 1 и 5 соответственно, то они снова образуют геометрическую прогрессию". Буквальное следование этому условию приводит к системе уравнений, не имеющей действительных решений. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и числа следует вычитать из членов исходной геометрической прогрессии. При такой интерпретации получаем, что числа $x$, $y-1$, $z-5$ образуют геометрическую прогрессию.Для этой новой прогрессии также выполняется свойство:$(y-1)^2 = x(z-5)$

Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:1. $y^2 = xz$2. $2y = x + z - 4$3. $(y-1)^2 = x(z-5)$

Раскроем скобки в третьем уравнении:$y^2 - 2y + 1 = xz - 5x$Подставим в него первое уравнение ($y^2 = xz$):$xz - 2y + 1 = xz - 5x$$-2y + 1 = -5x$$5x = 2y - 1$$x = \frac{2y-1}{5}$

Теперь выразим $z$ из второго уравнения:$z = 2y - 4 - x$Подставим в него найденное выражение для $x$:$z = 2y - 4 - \frac{2y-1}{5} = \frac{5(2y-4) - (2y-1)}{5} = \frac{10y-20-2y+1}{5} = \frac{8y-19}{5}$Извините, ошибка в вычислении. Правильно:$z = 2y + 4 - x = 2y + 4 - \frac{2y-1}{5} = \frac{5(2y+4) - (2y-1)}{5} = \frac{10y+20-2y+1}{5} = \frac{8y+21}{5}$

Теперь подставим выражения для $x$ и $z$ в первое уравнение $y^2 = xz$:$y^2 = \left(\frac{2y-1}{5}\right) \left(\frac{8y+21}{5}\right)$$25y^2 = (2y-1)(8y+21)$$25y^2 = 16y^2 + 42y - 8y - 21$$25y^2 = 16y^2 + 34y - 21$$9y^2 - 34y + 21 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:$D = (-34)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 21 = 1156 - 756 = 400 = 20^2$Корни уравнения:$y_1 = \frac{34 - 20}{2 \cdot 9} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$$y_2 = \frac{34 + 20}{2 \cdot 9} = \frac{54}{18} = 3$

Рассмотрим оба возможных случая.
Случай 1: $y = 3$.Найдем $x$ и $z$:$x = \frac{2(3)-1}{5} = \frac{6-1}{5} = 1$$z = \frac{8(3)+21}{5} = \frac{24+21}{5} = 9$Первый набор чисел: 1, 3, 9.

Случай 2: $y = \frac{7}{9}$.Найдем $x$ и $z$:$x = \frac{2(\frac{7}{9})-1}{5} = \frac{\frac{14}{9}-1}{5} = \frac{\frac{5}{9}}{5} = \frac{1}{9}$$z = \frac{8(\frac{7}{9})+21}{5} = \frac{\frac{56}{9}+21}{5} = \frac{\frac{56+189}{9}}{5} = \frac{\frac{245}{9}}{5} = \frac{49}{9}$Второй набор чисел: $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}$.

Проверим оба решения.Для (1, 3, 9):1. Геометрическая прогрессия: 1, 3, 9 (знаменатель 3).2. Арифметическая прогрессия: 1, 3, 9-4=5 (разность 2).3. Новая геометрическая прогрессия: 1, 3-1=2, 9-5=4 (знаменатель 2).Решение верное.
Для ($\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}$):1. Геометрическая прогрессия: $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}$ (знаменатель 7).2. Арифметическая прогрессия: $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}-4 = \frac{13}{9}$ (разность $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$).3. Новая геометрическая прогрессия: $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}-1=-\frac{2}{9}, \frac{49}{9}-5=\frac{4}{9}$ (знаменатель -2).Решение верное.

Ответ: (1, 3, 9) или ($\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}$).