Номер 3.78, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.78. Найдите сумму первых 5 членов геометрической прогрессии:

1) $b_1=8, q=\frac{1}{2}$;

2) $b_1=500, q=\frac{1}{5}$;

3) $3, -6, ...$;

4) $54, 36, ...$;

5) $-32, 16, ...$;

6) $1, -\frac{1}{2}, ...$;

7) $c_1=-4, q=3$;

8) $c_1=1, q=-2$;

9) $u_1=3, q=2$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (или $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$), где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов. Во всех заданиях требуется найти сумму первых 5 членов, то есть $n=5$.

1) Дана геометрическая прогрессия, где первый член $b_1=8$ и знаменатель $q=\frac{1}{2}$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{8(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{8(\frac{32-1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = \frac{16 \cdot 31}{32} = \frac{31}{2} = 15,5$.
Ответ: 15,5.

2) Дана геометрическая прогрессия, где $b_1=500$ и $q=\frac{1}{5}$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{500(1 - (\frac{1}{5})^5)}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{500(1 - \frac{1}{3125})}{\frac{4}{5}} = \frac{500(\frac{3124}{3125})}{\frac{4}{5}} = 500 \cdot \frac{3124}{3125} \cdot \frac{5}{4} = \frac{500 \cdot 5}{4} \cdot \frac{3124}{3125} = 625 \cdot \frac{3124}{3125} = \frac{3124}{5} = 624,8$.
Ответ: 624,8.

3) Дана последовательность $3, -6, \dots$. Это геометрическая прогрессия.
Первый член $b_1=3$. Второй член $b_2=-6$.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{3((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{3(-32 - 1)}{-3} = \frac{3(-33)}{-3} = 33$.
Ответ: 33.

4) Дана последовательность $54, 36, \dots$. Это геометрическая прогрессия.
Первый член $b_1=54$. Второй член $b_2=36$.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{54(1 - (\frac{2}{3})^5)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54(1 - \frac{32}{243})}{\frac{1}{3}} = \frac{54(\frac{211}{243})}{\frac{1}{3}} = 54 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 = 162 \cdot \frac{211}{243} = \frac{2 \cdot 81 \cdot 211}{3 \cdot 81} = \frac{422}{3} = 140\frac{2}{3}$.
Ответ: $140\frac{2}{3}$.

5) Дана последовательность $-32, 16, \dots$. Это геометрическая прогрессия.
Первый член $b_1=-32$. Второй член $b_2=16$.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{-32} = -\frac{1}{2}$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{-32(1 - (-\frac{1}{2})^5)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-32(1 + \frac{1}{32})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-32(\frac{33}{32})}{\frac{3}{2}} = \frac{-33}{\frac{3}{2}} = -33 \cdot \frac{2}{3} = -22$.
Ответ: -22.

6) Дана последовательность $1, -\frac{1}{2}, \dots$. Это геометрическая прогрессия.
Первый член $b_1=1$. Второй член $b_2=-\frac{1}{2}$.
Знаменатель прогрессии: $q = -\frac{1}{2}$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{1(1 - (-\frac{1}{2})^5)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1 + \frac{1}{32}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} = \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} = \frac{11}{16}$.
Ответ: $\frac{11}{16}$.

7) Дана геометрическая прогрессия с первым членом $c_1=-4$ и знаменателем $q=3$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{c_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{-4(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{-4(243 - 1)}{2} = -2(242) = -484$.
Ответ: -484.

8) Дана геометрическая прогрессия с первым членом $c_1=1$ и знаменателем $q=-2$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{c_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{1((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{-32 - 1}{-3} = \frac{-33}{-3} = 11$.
Ответ: 11.

9) Дана геометрическая прогрессия с первым членом $u_1=3$ и знаменателем $q=2$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{u_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3(32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93$.
Ответ: 93.