Страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Высота ступенчатой фигуры равна 56 см, в основании этой фигуры расположены 10 кубиков. Определите количество всех кубиков.

Для решения данной задачи необходимо определить структуру ступенчатой фигуры и затем подсчитать общее количество составляющих ее кубиков.

Из условия известно, что в основании фигуры расположены 10 кубиков. Для ступенчатой фигуры это означает, что самый нижний ряд (слой) состоит из 10 кубиков. В такой конструкции каждый последующий слой, расположенный выше, содержит на один кубик меньше, чем предыдущий. Таким образом, мы имеем фигуру, состоящую из 10 слоев, где количество кубиков в слоях уменьшается от 10 до 1:

• 1-й слой (основание): 10 кубиков
• 2-й слой: 9 кубиков
• 3-й слой: 8 кубиков
• ...
• 10-й слой (вершина): 1 кубик

Общее количество кубиков $N$ равно сумме кубиков во всех слоях. Это сумма чисел от 1 до 10. $N = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ Эту сумму можно вычислить с помощью формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ В нашем случае количество слоев $n = 10$. Подставляем это значение в формулу: $N = \frac{10 \cdot (10 + 1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

В задаче также указана высота фигуры — 56 см. Эта информация позволяет определить размер одного кубика, но не является необходимой для нахождения их общего количества. Поскольку в фигуре 10 слоев, ее общая высота равна высоте 10 кубиков, поставленных друг на друга. Если ребро одного кубика равно $a$, то высота фигуры $H$ равна $10 \cdot a$. $10 \cdot a = 56 \text{ см}$ $a = 5.6 \text{ см}$ Это подтверждает, что наша интерпретация строения фигуры (10 слоев) является верной.

Итак, общее количество кубиков, из которых состоит ступенчатая фигура, равно 55.

Ответ: 55 кубиков.

3.77. Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии:

1) $-23, -20; \dots;$

2) $14,2; 9,6; \dots;$

3) $b_1=-17, d=6;$

4) $b_1=6,4, d=0,8;$

5) $a_1=3, a_{10}=17;$

6) $a_1=-10,5, a_{10}=12.$

Для решения задачи будем использовать формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии.
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — $n$-й член прогрессии.
Во всех случаях требуется найти сумму первых 10 членов, то есть $n=10$.

1) Дана прогрессия $-23, -20, \dots$.
Первый член прогрессии $a_1 = -23$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -20 - (-23) = 3$.
Теперь найдем сумму первых 10 членов:
$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot (-23) + 3 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{-46 + 27}{2} \cdot 10 = \frac{-19}{2} \cdot 10 = -19 \cdot 5 = -95$.
Ответ: $-95$.

2) Дана прогрессия $14,2; 9,6; \dots$.
Первый член прогрессии $a_1 = 14,2$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 9,6 - 14,2 = -4,6$.
Найдем сумму первых 10 членов:
$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 14,2 + (-4,6) \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{28,4 - 41,4}{2} \cdot 10 = \frac{-13}{2} \cdot 10 = -13 \cdot 5 = -65$.
Ответ: $-65$.

3) Даны первый член прогрессии $b_1 = -17$ и разность $d=6$. Будем считать, что $a_1 = b_1$.
$a_1 = -17, d=6$.
Найдем сумму первых 10 членов:
$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot (-17) + 6 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{-34 + 54}{2} \cdot 10 = \frac{20}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100$.
Ответ: $100$.

4) Даны первый член прогрессии $b_1 = 6,4$ и разность $d=0,8$. Будем считать, что $a_1 = b_1$.
$a_1 = 6,4, d=0,8$.
Найдем сумму первых 10 членов:
$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 6,4 + 0,8 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{12,8 + 7,2}{2} \cdot 10 = \frac{20}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100$.
Ответ: $100$.

5) Даны первый член прогрессии $a_1 = 3$ и десятый член $a_{10} = 17$.
Для нахождения суммы воспользуемся второй формулой, так как известны первый и десятый члены:
$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{3 + 17}{2} \cdot 10 = \frac{20}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100$.
Ответ: $100$.

6) Даны первый член прогрессии $a_1 = -10,5$ и десятый член $a_{10} = 12$.
Используем формулу суммы через первый и $n$-й члены:
$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{-10,5 + 12}{2} \cdot 10 = \frac{1,5}{2} \cdot 10 = 1,5 \cdot 5 = 7,5$.
Ответ: $7,5$.

3.78. Найдите сумму первых 5 членов геометрической прогрессии:

1) $b_1=8, q=\frac{1}{2}$;

2) $b_1=500, q=\frac{1}{5}$;

3) $3, -6, ...$;

4) $54, 36, ...$;

5) $-32, 16, ...$;

6) $1, -\frac{1}{2}, ...$;

7) $c_1=-4, q=3$;

8) $c_1=1, q=-2$;

9) $u_1=3, q=2$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (или $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$), где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов. Во всех заданиях требуется найти сумму первых 5 членов, то есть $n=5$.

1) Дана геометрическая прогрессия, где первый член $b_1=8$ и знаменатель $q=\frac{1}{2}$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{8(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{8(\frac{32-1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = \frac{16 \cdot 31}{32} = \frac{31}{2} = 15,5$.
Ответ: 15,5.

2) Дана геометрическая прогрессия, где $b_1=500$ и $q=\frac{1}{5}$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{500(1 - (\frac{1}{5})^5)}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{500(1 - \frac{1}{3125})}{\frac{4}{5}} = \frac{500(\frac{3124}{3125})}{\frac{4}{5}} = 500 \cdot \frac{3124}{3125} \cdot \frac{5}{4} = \frac{500 \cdot 5}{4} \cdot \frac{3124}{3125} = 625 \cdot \frac{3124}{3125} = \frac{3124}{5} = 624,8$.
Ответ: 624,8.

3) Дана последовательность $3, -6, \dots$. Это геометрическая прогрессия.
Первый член $b_1=3$. Второй член $b_2=-6$.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{3((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{3(-32 - 1)}{-3} = \frac{3(-33)}{-3} = 33$.
Ответ: 33.

4) Дана последовательность $54, 36, \dots$. Это геометрическая прогрессия.
Первый член $b_1=54$. Второй член $b_2=36$.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{54(1 - (\frac{2}{3})^5)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54(1 - \frac{32}{243})}{\frac{1}{3}} = \frac{54(\frac{211}{243})}{\frac{1}{3}} = 54 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 = 162 \cdot \frac{211}{243} = \frac{2 \cdot 81 \cdot 211}{3 \cdot 81} = \frac{422}{3} = 140\frac{2}{3}$.
Ответ: $140\frac{2}{3}$.

5) Дана последовательность $-32, 16, \dots$. Это геометрическая прогрессия.
Первый член $b_1=-32$. Второй член $b_2=16$.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{-32} = -\frac{1}{2}$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{-32(1 - (-\frac{1}{2})^5)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-32(1 + \frac{1}{32})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-32(\frac{33}{32})}{\frac{3}{2}} = \frac{-33}{\frac{3}{2}} = -33 \cdot \frac{2}{3} = -22$.
Ответ: -22.

6) Дана последовательность $1, -\frac{1}{2}, \dots$. Это геометрическая прогрессия.
Первый член $b_1=1$. Второй член $b_2=-\frac{1}{2}$.
Знаменатель прогрессии: $q = -\frac{1}{2}$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{1(1 - (-\frac{1}{2})^5)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1 + \frac{1}{32}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} = \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} = \frac{11}{16}$.
Ответ: $\frac{11}{16}$.

7) Дана геометрическая прогрессия с первым членом $c_1=-4$ и знаменателем $q=3$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{c_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{-4(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{-4(243 - 1)}{2} = -2(242) = -484$.
Ответ: -484.

8) Дана геометрическая прогрессия с первым членом $c_1=1$ и знаменателем $q=-2$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{c_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{1((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{-32 - 1}{-3} = \frac{-33}{-3} = 11$.
Ответ: 11.

9) Дана геометрическая прогрессия с первым членом $u_1=3$ и знаменателем $q=2$.
Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{u_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3(32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93$.
Ответ: 93.

3.79. Найдите сумму первых 15 членов арифметической прогрессии ${$a_n$}, если:

1) $a_5=27, a_{27}=60;$

2) $a_{20}=0, a_{66}=-92;$

3) $a_1=-3, a_{61}=57;$

4) $a_1=-10,5, a_{63}=51,5.$

1) Для нахождения суммы первых 15 членов арифметической прогрессии $S_{15}$ необходимо знать ее первый член $a_1$ и разность $d$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.
По условию даны $a_5 = 27$ и $a_{27} = 60$. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} a_1 + d(5-1) = 27 \\ a_1 + d(27-1) = 60 \end{cases} $
$ \begin{cases} a_1 + 4d = 27 \\ a_1 + 26d = 60 \end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти $d$:
$(a_1 + 26d) - (a_1 + 4d) = 60 - 27$
$22d = 33$
$d = \frac{33}{22} = 1,5$
Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 4(1,5) = 27$
$a_1 + 6 = 27$
$a_1 = 21$
Теперь вычислим сумму первых 15 членов по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$:
$S_{15} = \frac{2 \cdot 21 + 1,5 \cdot (15-1)}{2} \cdot 15 = \frac{42 + 1,5 \cdot 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{42 + 21}{2} \cdot 15 = \frac{63}{2} \cdot 15 = 31,5 \cdot 15 = 472,5$
Ответ: 472,5

2) По условию даны $a_{20} = 0$ и $a_{66} = -92$. Аналогично первому пункту, составим систему уравнений:
$ \begin{cases} a_1 + d(20-1) = 0 \\ a_1 + d(66-1) = -92 \end{cases} $
$ \begin{cases} a_1 + 19d = 0 \\ a_1 + 65d = -92 \end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое:
$(a_1 + 65d) - (a_1 + 19d) = -92 - 0$
$46d = -92$
$d = -2$
Подставим $d$ в первое уравнение:
$a_1 + 19(-2) = 0$
$a_1 - 38 = 0$
$a_1 = 38$
Вычислим сумму первых 15 членов:
$S_{15} = \frac{2 \cdot 38 + (-2) \cdot (15-1)}{2} \cdot 15 = \frac{76 - 2 \cdot 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{76 - 28}{2} \cdot 15 = \frac{48}{2} \cdot 15 = 24 \cdot 15 = 360$
Ответ: 360

3) По условию даны $a_1 = -3$ и $a_{61} = 57$.
Первый член $a_1$ уже известен. Найдем разность $d$ из формулы для 61-го члена:
$a_{61} = a_1 + d(61-1)$
$57 = -3 + 60d$
$60 = 60d$
$d = 1$
Теперь вычислим сумму первых 15 членов:
$S_{15} = \frac{2 \cdot (-3) + 1 \cdot (15-1)}{2} \cdot 15 = \frac{-6 + 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{8}{2} \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$
Ответ: 60

4) По условию даны $a_1 = -10,5$ и $a_{63} = 51,5$.
Первый член $a_1$ известен. Найдем разность $d$ из формулы для 63-го члена:
$a_{63} = a_1 + d(63-1)$
$51,5 = -10,5 + 62d$
$51,5 + 10,5 = 62d$
$62 = 62d$
$d = 1$
Теперь вычислим сумму первых 15 членов:
$S_{15} = \frac{2 \cdot (-10,5) + 1 \cdot (15-1)}{2} \cdot 15 = \frac{-21 + 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{-7}{2} \cdot 15 = -3,5 \cdot 15 = -52,5$
Ответ: -52,5

3.80. Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии ${$b_n$}$, если:

1) $b_5=-6, b_7=-54;$

2) $b_6=25, b_8=9;$

3) $b_1=125, b_3=5;$

4) $b_4=-1, b_6=-100.$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$, где $b_1$ - первый член прогрессии, а $q$ - ее знаменатель. Наша цель - найти $S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q-1}$.

1) Дано: $b_5 = -6$, $b_7 = -54$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$:

$b_7 = b_5 \cdot q^{7-5} \implies -54 = -6 \cdot q^2$.

Отсюда $q^2 = \frac{-54}{-6} = 9$, что дает два возможных значения для знаменателя: $q = 3$ или $q = -3$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Из формулы $b_5 = b_1 \cdot q^4$ получаем $b_1 = \frac{b_5}{q^4}$.

Поскольку $q^4 = (\pm3)^4 = 81$, значение $b_1$ будет одинаковым для обоих случаев:

$b_1 = \frac{-6}{81} = -\frac{2}{27}$.

Рассмотрим два случая для вычисления $S_6$.

Случай 1: $q = 3$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6-1)}{q-1} = \frac{-\frac{2}{27}(3^6-1)}{3-1} = \frac{-\frac{2}{27}(729-1)}{2} = \frac{-\frac{2}{27} \cdot 728}{2} = -\frac{728}{27}$.

Случай 2: $q = -3$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6-1)}{q-1} = \frac{-\frac{2}{27}((-3)^6-1)}{-3-1} = \frac{-\frac{2}{27}(729-1)}{-4} = \frac{-\frac{2}{27} \cdot 728}{-4} = \frac{2 \cdot 728}{27 \cdot 4} = \frac{364}{27}$.

Ответ: $S_6 = -\frac{728}{27}$ или $S_6 = \frac{364}{27}$.

2) Дано: $b_6 = 25$, $b_8 = 9$.

Найдем знаменатель $q$:

$b_8 = b_6 \cdot q^{8-6} \implies 9 = 25 \cdot q^2$.

$q^2 = \frac{9}{25}$, откуда $q = \frac{3}{5}$ или $q = -\frac{3}{5}$.

Найдем $b_1$ из формулы $b_6 = b_1 \cdot q^5$, то есть $b_1 = \frac{b_6}{q^5}$.

Случай 1: $q = \frac{3}{5}$.

$b_1 = \frac{25}{(\frac{3}{5})^5} = \frac{25}{\frac{243}{3125}} = \frac{25 \cdot 3125}{243} = \frac{78125}{243}$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6-1)}{q-1} = \frac{\frac{78125}{243}((\frac{3}{5})^6-1)}{\frac{3}{5}-1} = \frac{\frac{78125}{243}(\frac{729}{15625}-1)}{-\frac{2}{5}} = \frac{\frac{78125}{243}(-\frac{14896}{15625})}{-\frac{2}{5}} = \frac{78125 \cdot 14896 \cdot 5}{243 \cdot 15625 \cdot 2} = \frac{5 \cdot 14896 \cdot 5}{243 \cdot 2} = \frac{25 \cdot 7448}{243} = \frac{186200}{243}$.

Случай 2: $q = -\frac{3}{5}$.

$b_1 = \frac{25}{(-\frac{3}{5})^5} = \frac{25}{-\frac{243}{3125}} = -\frac{78125}{243}$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6-1)}{q-1} = \frac{-\frac{78125}{243}((-\frac{3}{5})^6-1)}{-\frac{3}{5}-1} = \frac{-\frac{78125}{243}(\frac{729}{15625}-1)}{-\frac{8}{5}} = \frac{\frac{78125 \cdot 14896}{243 \cdot 15625}}{-\frac{8}{5}} = -\frac{5 \cdot 14896 \cdot 5}{243 \cdot 8} = -\frac{25 \cdot 1862}{243} = -\frac{46550}{243}$.

Ответ: $S_6 = \frac{186200}{243}$ или $S_6 = -\frac{46550}{243}$.

3) Дано: $b_1 = 125$, $b_3 = 5$.

Найдем знаменатель $q$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} \implies 5 = 125 \cdot q^2$.

$q^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$, откуда $q = \frac{1}{5}$ или $q = -\frac{1}{5}$.

Первый член $b_1 = 125$ дан в условии. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $q = \frac{1}{5}$.

$S_6 = \frac{125((\frac{1}{5})^6-1)}{\frac{1}{5}-1} = \frac{125(\frac{1-15625}{15625})}{-\frac{4}{5}} = \frac{125(-\frac{15624}{15625})}{-\frac{4}{5}} = \frac{125 \cdot 15624 \cdot 5}{15625 \cdot 4} = \frac{625 \cdot 15624}{15625 \cdot 4} = \frac{15624}{25 \cdot 4} = \frac{15624}{100} = 156,24 = \frac{3906}{25}$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{5}$.

$S_6 = \frac{125((-\frac{1}{5})^6-1)}{-\frac{1}{5}-1} = \frac{125(\frac{1-15625}{15625})}{-\frac{6}{5}} = \frac{125(-\frac{15624}{15625})}{-\frac{6}{5}} = \frac{125 \cdot 15624 \cdot 5}{15625 \cdot 6} = \frac{625 \cdot 15624}{15625 \cdot 6} = \frac{15624}{25 \cdot 6} = \frac{2604}{25}$.

Ответ: $S_6 = \frac{3906}{25}$ или $S_6 = \frac{2604}{25}$.

4) Дано: $b_4 = -1$, $b_6 = -100$.

Найдем знаменатель $q$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} \implies -100 = -1 \cdot q^2$.

$q^2 = 100$, откуда $q = 10$ или $q = -10$.

Найдем $b_1$ из формулы $b_4 = b_1 \cdot q^3$, то есть $b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{-1}{q^3}$.

Случай 1: $q = 10$.

$b_1 = \frac{-1}{10^3} = -\frac{1}{1000}$.

$S_6 = \frac{-\frac{1}{1000}(10^6-1)}{10-1} = \frac{-\frac{1}{1000}(999999)}{9} = -\frac{999999}{9000} = -\frac{111111}{1000} = -111,111$.

Случай 2: $q = -10$.

$b_1 = \frac{-1}{(-10)^3} = \frac{-1}{-1000} = \frac{1}{1000}$.

$S_6 = \frac{\frac{1}{1000}((-10)^6-1)}{-10-1} = \frac{\frac{1}{1000}(999999)}{-11} = -\frac{999999}{11000} = -\frac{90909}{1000} = -90,909$.

Ответ: $S_6 = -111,111$ или $S_6 = -90,909$.

3.81. Покажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является арифметической прогрессией, и найдите $S_{10}$, если:

1) $a_n = 5n+3$;

2) $a_n = 5 - \frac{n}{2}$.

1) Для последовательности, заданной формулой $a_n=5n+3$, докажем, что она является арифметической прогрессией.
По определению, последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии ($d$).
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 5(n+1) + 3 = 5n + 5 + 3 = 5n + 8$.
Теперь найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:
$d = a_{n+1} - a_n = (5n + 8) - (5n + 3) = 5n + 8 - 5n - 3 = 5$.
Так как разность $d=5$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=5$.
Теперь найдем сумму первых десяти членов прогрессии, $S_{10}$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Для этого сначала найдем первый и десятый члены прогрессии:
$a_1 = 5 \cdot 1 + 3 = 8$.
$a_{10} = 5 \cdot 10 + 3 = 50 + 3 = 53$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{8 + 53}{2} \cdot 10 = \frac{61}{2} \cdot 10 = 61 \cdot 5 = 305$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=5$; $S_{10} = 305$.

2) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 5 - \frac{n}{2}$, докажем, что она является арифметической прогрессией.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 5 - \frac{n+1}{2} = 5 - \frac{n}{2} - \frac{1}{2}$.
Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:
$d = a_{n+1} - a_n = (5 - \frac{n}{2} - \frac{1}{2}) - (5 - \frac{n}{2}) = 5 - \frac{n}{2} - \frac{1}{2} - 5 + \frac{n}{2} = -\frac{1}{2}$.
Так как разность $d = -0.5$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=-0.5$.
Теперь найдем сумму первых десяти членов прогрессии, $S_{10}$, по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Найдем первый и десятый члены прогрессии:
$a_1 = 5 - \frac{1}{2} = 4.5$.
$a_{10} = 5 - \frac{10}{2} = 5 - 5 = 0$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{4.5 + 0}{2} \cdot 10 = \frac{4.5}{2} \cdot 10 = 4.5 \cdot 5 = 22.5$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=-0.5$; $S_{10} = 22.5$.

3.82. Покажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является геометрической прогрессией, и найдите $S_{10}$, если:

1) $b_n = 2 \cdot 3^{n+1}$;

2) $b_n = - \frac{3}{2^n}$.

1) Дана последовательность, заданная формулой общего члена $b_n = 2 \cdot 3^{n+1}$.
Чтобы доказать, что эта последовательность является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии ($q$).
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = 2 \cdot 3^{(n+1)+1} = 2 \cdot 3^{n+2}$.
Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 \cdot 3^{n+2}}{2 \cdot 3^{n+1}} = 3^{(n+2) - (n+1)} = 3^1 = 3$.
Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно константе 3 (не зависит от $n$), последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 3$.
Теперь найдем сумму первых 10 членов прогрессии, $S_{10}$. Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Сначала вычислим первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = 2 \cdot 3^{1+1} = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Подставим значения $b_1 = 18$, $q = 3$ и $n = 10$ в формулу суммы:
$S_{10} = \frac{18(3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{18(3^{10} - 1)}{2} = 9(3^{10} - 1)$.
Вычислим $3^{10}$: $3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$.
$S_{10} = 9(59049 - 1) = 9 \cdot 59048 = 531432$.
Ответ: последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$; $S_{10} = 531432$.

2) Дана последовательность, заданная формулой общего члена $b_n = -\frac{3}{2^n}$.
Чтобы доказать, что эта последовательность является геометрической прогрессией, найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = -\frac{3}{2^{n+1}}$.
Теперь найдем их отношение:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-\frac{3}{2^{n+1}}}{-\frac{3}{2^n}} = \left(-\frac{3}{2^{n+1}}\right) \cdot \left(-\frac{2^n}{3}\right) = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n+1}} = \frac{2^n}{2^{n+1}} = 2^{n-(n+1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно константе $\frac{1}{2}$ (не зависит от $n$), последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем сумму первых 10 членов прогрессии, $S_{10}$. Формула для суммы: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Сначала вычислим первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = -\frac{3}{2^1} = -\frac{3}{2}$.
Подставим значения $b_1 = -\frac{3}{2}$, $q = \frac{1}{2}$ и $n = 10$ в формулу суммы:
$S_{10} = \frac{-\frac{3}{2}((\frac{1}{2})^{10} - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-\frac{3}{2}((\frac{1}{2})^{10} - 1)}{-\frac{1}{2}} = 3\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{10} - 1\right)$.
Вычислим $(\frac{1}{2})^{10}$: $(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$.
$S_{10} = 3\left(\frac{1}{1024} - 1\right) = 3\left(\frac{1 - 1024}{1024}\right) = 3\left(\frac{-1023}{1024}\right) = -\frac{3069}{1024}$.
Ответ: последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=\frac{1}{2}$; $S_{10} = -\frac{3069}{1024}$.