Номер 3.72, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.72. Докажите, что последовательность $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $\frac{1}{2-\sqrt{2}}$, $\frac{1}{2}$, ... является геометрической прогрессией.

Для того чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение каждого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену является постоянной величиной. Это постоянное отношение называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Заданная последовательность имеет члены:
$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$
$b_2 = \frac{1}{2-\sqrt{2}}$
$b_3 = \frac{1}{2}$

Найдем отношение второго члена ко первому ($q_1 = b_2 / b_1$):
$q_1 = \frac{\frac{1}{2-\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}} = \frac{1}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$
Чтобы упростить выражение, разложим знаменатель первой дроби на множители: $2-\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$.
$q_1 = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)} = \frac{1}{2+\sqrt{2}}$
Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{2})$:
$q_1 = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2-\sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем отношение третьего члена ко второму ($q_2 = b_3 / b_2$):
$q_2 = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2-\sqrt{2}}} = \frac{1}{2} \cdot (2-\sqrt{2}) = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку оба отношения равны ($q_1 = q_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$), это доказывает, что данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Отношение второго члена к первому и третьего ко второму равны одному и тому же числу $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, по определению, данная последовательность является геометрической прогрессией. Что и требовалось доказать.