Номер 3.69, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.69. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ${a_n}$, если $a_1+a_4=27$ и $a_2a_3=72$.

Пусть $a_1$ — первый член геометрической прогрессии $\{a_n\}$, а $q$ — её знаменатель. Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, имеем два уравнения:
1) $a_1 + a_4 = 27$
2) $a_2 a_3 = 72$

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии, согласно которому произведение членов, равноудаленных от концов, постоянно. В более общем виде: если $k+l = m+p$, то $a_k a_l = a_m a_p$. В нашем случае, для индексов 2 и 3 сумма равна $2+3=5$. Для индексов 1 и 4 сумма также равна $1+4=5$. Следовательно, $a_2 a_3 = a_1 a_4$.

Таким образом, мы можем переписать исходную систему уравнений в следующем виде:
1) $a_1 + a_4 = 27$
2) $a_1 a_4 = 72$

Согласно теореме Виета, $a_1$ и $a_4$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a_1+a_4)t + a_1a_4 = 0$. Подставим известные значения:
$t^2 - 27t + 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 729 - 288 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 21}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Это означает, что возможны два случая:
1) $a_1 = 3$ и $a_4 = 24$
2) $a_1 = 24$ и $a_4 = 3$

Рассмотрим каждый случай, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, используя формулу $a_4 = a_1 q^3$.

Случай 1: $a_1 = 3$ и $a_4 = 24$.
$24 = 3 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{24}{3} = 8$
$q = \sqrt[3]{8} = 2$

Случай 2: $a_1 = 24$ и $a_4 = 3$.
$3 = 24 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Оба значения являются решением задачи.

Ответ: $2$ или $\frac{1}{2}$.