Номер 3.55, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.55. Решите уравнения:

1) $x^4-17x^2+16=0;$

2) $3x^4+x^2-4=0.$

1) $x^4-17x^2+16=0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2-17y+16=0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Оба найденных значения для $y$ ($y_1=1$ и $y_2=16$) удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней $y$:

1. Если $y = 1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. Если $y = 16$, то $x^2 = 16$. Отсюда $x = \pm\sqrt{16}$, то есть $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\{-4; -1; 1; 4\}$.

2) $3x^4+x^2-4=0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$, с условием $y \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное уравнение относительно $y$:

$3y^2+y-4=0$

Решим это уравнение, найдя его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, так как он отрицателен. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $y_2 = 1$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Выполним обратную замену для допустимого значения $y$:

Если $y = 1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $\{-1; 1\}$.