Номер 3.52, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.52. Могут ли числа:

1) $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5};$

2) $\sqrt{5}-\sqrt{2}, 1, \frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2}$

быть последовательными членами арифметической прогрессии?

Для того чтобы три числа $a$, $b$ и $c$ были последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось характеристическое свойство: средний член равен полусумме соседних, то есть $b = \frac{a+c}{2}$, или, что то же самое, $2b = a + c$. Проверим это условие для каждого случая.

1)

Пусть даны числа $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3}$, $c = \sqrt{5}$.

Проверим выполнение равенства $2b = a + c$:

$2\sqrt{3} = \sqrt{2} + \sqrt{5}$

Так как обе части предполагаемого равенства положительны, мы можем возвести их в квадрат. Если равенство верно, то квадраты обеих частей также будут равны.

Квадрат левой части: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Квадрат правой части: $(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 2 + 2\sqrt{10} + 5 = 7 + 2\sqrt{10}$.

Теперь сравним полученные выражения: $12 = 7 + 2\sqrt{10}$.

Вычтем 7 из обеих частей: $5 = 2\sqrt{10}$.

Чтобы проверить это равенство, снова возведем обе части в квадрат:

$5^2 = 25$.

$(2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.

Поскольку $25 \neq 40$, исходное равенство $2\sqrt{3} = \sqrt{2} + \sqrt{5}$ неверно. Следовательно, данные числа не могут быть последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: не могут.

2)

Пусть даны числа $a = \sqrt{5}-\sqrt{2}$, $b = 1$, $c = \frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2}$.

Проверим выполнение равенства $2b = a+c$. Другой способ проверки — убедиться, что разность между соседними членами одинакова, то есть $b-a = c-b$.

Найдем разность $d_1 = b - a$:

$d_1 = 1 - (\sqrt{5}-\sqrt{2}) = 1 - \sqrt{5} + \sqrt{2}$.

Найдем разность $d_2 = c - b$:

$d_2 = \frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2} - 1 = \frac{1+4\sqrt{2} - 1 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2)}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2} = \frac{1+4\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{2}-2}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2}$.

Теперь проверим, верно ли равенство $d_1 = d_2$:

$1 - \sqrt{5} + \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+2}$

Чтобы проверить это, умножим обе части на знаменатель $\sqrt{5}+\sqrt{2}+2$:

$(1 - \sqrt{5} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2) = 3\sqrt{2}-\sqrt{5}-1$

Раскроем скобки в левой части:

$1 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2) - \sqrt{5} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2) + \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2)$

$= (\sqrt{5}+\sqrt{2}+2) - ((\sqrt{5})^2 + \sqrt{5}\sqrt{2} + 2\sqrt{5}) + (\sqrt{2}\sqrt{5} + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2})$

$= \sqrt{5}+\sqrt{2}+2 - 5 - \sqrt{10} - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} + 2 + 2\sqrt{2}$

Приведем подобные слагаемые:

$(\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (-\sqrt{10} + \sqrt{10}) + (2 - 5 + 2)$

$= -\sqrt{5} + 3\sqrt{2} - 1$

Полученное выражение $3\sqrt{2}-\sqrt{5}-1$ в точности совпадает с правой частью проверяемого равенства. Таким образом, равенство $d_1=d_2$ верно.

Следовательно, данные числа могут быть последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: могут.