Номер 3.54, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.54. Докажите тождества:

1)

$\frac{ac+bx+ax+bc}{ay+2bx+2ax+by} = \frac{x+c}{2x+y}$

2)

$\frac{x-xy+z-zy}{1-3y+3y^2-y^3} = \frac{x+z}{(1-y)^2}$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители методом группировки.
Числитель: $ac + bx + ax + bc = (ac + ax) + (bc + bx) = a(c+x) + b(c+x) = (a+b)(x+c)$.
Знаменатель: $ay + 2bx + 2ax + by = (ay + by) + (2ax + 2bx) = y(a+b) + 2x(a+b) = (a+b)(y+2x)$.
Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в левую часть исходного равенства:
$\frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by} = \frac{(a+b)(x+c)}{(a+b)(y+2x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии что $a+b \neq 0$:
$\frac{(a+b)(x+c)}{(a+b)(y+2x)} = \frac{x+c}{y+2x} = \frac{x+c}{2x+y}$.
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
Сначала разложим числитель на множители методом группировки:
$x - xy + z - zy = x(1-y) + z(1-y) = (x+z)(1-y)$.
Знаменатель $1 - 3y + 3y^2 - y^3$ является формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В нашем случае $a=1$ и $b=y$, поэтому $1 - 3y + 3y^2 - y^3 = (1-y)^3$.
Теперь подставим полученные выражения в левую часть тождества:
$\frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3} = \frac{(x+z)(1-y)}{(1-y)^3}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1-y)$, при условии что $y \neq 1$:
$\frac{(x+z)(1-y)}{(1-y)^3} = \frac{x+z}{(1-y)^2}$.
Таким образом, левая часть тождества после преобразований стала равна правой части.
Ответ: Тождество доказано.