Номер 3.48, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.48. Сколько общих членов имеют арифметические прогрессии 5, 8, 11, ... и 3, 7, 11, .... при $n=100$?

Обозначим первую арифметическую прогрессию как $(a_k)$ и вторую как $(b_m)$.

Для первой прогрессии $5, 8, 11, \ldots$ имеем:

Первый член $a_1 = 5$.

Разность прогрессии $d_a = 8 - 5 = 3$.

Формула для $k$-го члена этой прогрессии имеет вид:$a_k = a_1 + (k-1)d_a = 5 + (k-1) \cdot 3 = 5 + 3k - 3 = 3k + 2$.

Для второй прогрессии $3, 7, 11, \ldots$ имеем:

Первый член $b_1 = 3$.

Разность прогрессии $d_b = 7 - 3 = 4$.

Формула для $m$-го члена этой прогрессии имеет вид:$b_m = b_1 + (m-1)d_b = 3 + (m-1) \cdot 4 = 3 + 4m - 4 = 4m - 1$.

Согласно условию задачи, мы рассматриваем первые 100 членов каждой прогрессии, что означает, что номера членов $k$ и $m$ находятся в диапазоне от 1 до 100, то есть $1 \le k \le 100$ и $1 \le m \le 100$.

Общие члены прогрессий — это те числа, которые присутствуют в обеих последовательностях. Для их нахождения необходимо приравнять формулы для $k$-го и $m$-го членов:$a_k = b_m$

$3k + 2 = 4m - 1$

Получили диофантово уравнение. Преобразуем его для решения в целых числах:$3k + 3 = 4m$

$3(k+1) = 4m$

Из этого уравнения видно, что левая часть делится на 3. Следовательно, и правая часть ($4m$) должна делиться на 3. Так как числа 4 и 3 являются взаимно простыми, то $m$ должно быть кратно 3.

Введем параметр $j$ (целое положительное число), такой что $m = 3j$.

Теперь подставим это выражение для $m$ обратно в уравнение $3(k+1) = 4m$:$3(k+1) = 4(3j)$

$3(k+1) = 12j$

Разделим обе части на 3:$k+1 = 4j$

$k = 4j - 1$

Таким образом, мы нашли общую форму для номеров $k$ и $m$ общих членов прогрессий. Теперь нужно определить, сколько целых значений $j$ удовлетворяют заданным ограничениям на $k$ и $m$.

Применим ограничения $1 \le k \le 100$ и $1 \le m \le 100$:

1. Для $k$:$1 \le 4j - 1 \le 100$

$1+1 \le 4j \le 100+1$

$2 \le 4j \le 101$

$\frac{2}{4} \le j \le \frac{101}{4}$

$0.5 \le j \le 25.25$

2. Для $m$:$1 \le 3j \le 100$

$\frac{1}{3} \le j \le \frac{100}{3}$

$0.33... \le j \le 33.33...$

Поскольку $j$ должно быть целым числом, из первого неравенства следует, что $j$ может принимать значения из множества $\{1, 2, \ldots, 25\}$. Из второго неравенства следует, что $j$ может принимать значения из множества $\{1, 2, \ldots, 33\}$.

Чтобы член был общим для первых 100 членов обеих прогрессий, оба условия должны выполняться одновременно. Следовательно, мы должны найти пересечение этих двух множеств допустимых значений $j$.

Пересечением является диапазон $1 \le j \le 25$.

Количество целых чисел в этом диапазоне равно $25 - 1 + 1 = 25$. Каждое такое значение $j$ соответствует одному уникальному общему члену.

Ответ: 25.